Метрическое пространство

Будем множество $X$ называть метрическим пространством, если каждой паре элементов $x$ и $y$ этого множества поставлено в соответствие неотрицательное число $p(x,y)$ , называемое расстоянием между элементами $x$ и $y$, такое, что для любых элементов $x$ , $y$, $z$ множества $X$ выполнены следующие условия:

1. $p(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y;$
2. $p(x,y) = p(y,x);$
3. $p(x,y) \leq p(x,z)+ p(z,y), z \in \mathbb{R}, z = ( z_1, z_2,…, z_n);$ (неравенство треугольника).

Элементы метрического пространства будем называть точками (векторами), функцию $p(x,y)$ , определенную на множестве пар точек метрического пространства $X$,  $p$ — метрикой, а условия 1)-3) — аксиомами метрики. Например, определяя расстояние между вещественными числами $\alpha$   и $\beta$ при помощи формулы $p(\alpha , \beta)= \left | \beta — \alpha \right |$  , получаем метрическое пространство, которое обозначается через $R$. Рассмотрим множество пар вещественных чисел $x=(x_{1}+x_{2})$. Если $x=(x_{1}+x_{2})$, а $y=(y_{1}+y_{2})$, то полагая $p(x,y)= \sqrt{(x_{1}-y_{1})^2+(x_{2}-y_{2})^2}$ , получаем метрическое пространство, которое обозначается через $R^{2}$ .  

Метрическое пространство $R_{n}$

Точками пространства $R_{n}$  являются упорядоченные совокупности из $n$ вещественных чисел $x=(x_{1},..,x_{n})$, $y=(y_{1},..,y_{n})$, $z=(z_{1},..,z_{n})$. Расстояние между точками $x$ и $y$ определяется формулой  $p(x,y) = \sqrt{(\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^2)}$ . Свойства 1) и 2) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее проверить, что справедливо неравенство треугольника (доказано в разделе «неравенство Коши-Буняковского»). Так же, n-мерные (евклидовы) пространства являются топологическими пространствами. Базой их стандартной топологии можно выбрать открытые шары или открытые кубы.

Литература:

• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» стр. 222-231.
• У.Рудин «Основы математического анализа» 2-е изд. стр. 39-45.
• Вартанян Г.М. Конспект лекций.