Построение общего решения СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ

Задача

Найти общее решение и одно частное решение системы уравнений:

$$
\left\{
\begin{array}{l l}
2x_1&-3x_2&+5x_3&+7x_4&=1 \\
4x_1&-6x_2&+2x_3&+3x_4&=2 \\
2x_1&-3x_2&-11x_3&-15x_4&=1
\end{array}
\right.
$$

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.$$
\left(\left.\begin{matrix}
2 & -3 & 5 & 7 \\
4 & -6 & 2 & 3 \\
2 & -3 & -11 & -15
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
1 \\ 2 \\ 1
\end{matrix}\right)
\sim
\left(\left.\begin{matrix}
2 & -3 & 5 & 7 \\
0 & 0 & -8 & -11 \\
0 & 0 & -16 & -22
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
\sim$$
$$\sim
\left(\left.\begin{matrix}
2 & -3 & 5 & 7 \\
0 & 0 & -8 & -11 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
$$Последняя матрица равносильна следующей системе:$$
\left\{
\begin{array}{l l}
2x_1&-3x_2&+5x_3&+7x_4&=1 \\
& &-8x_3&-11x_4&=0
\end{array}
\right.
$$Главными переменными назовем те, минор из коэффициентов при которых не равен нулю, например $x_1$ и $x_3$, и выразим через них остальные (свободные) переменные:$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&=\frac{1 + 3x_2-5x_3-7x_4}{2} \\
x_3&=-\frac{11}{8}x_4
\end{array}
\right.$$ $$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&=\frac{1 + 3x_2-\frac{1}{8}x_4}{2} \\
x_3&=-\frac{11}{8}x_4
\end{array}
\right.
$$Последняя система является общим решением исходной СЛАУ. Выберем произвольные значения свободных переменных, например $x_2=1$ и $x_4=0$, тогда $x_1=2$, $x_2=1$, $x_3=x_4=0$ является частным решением исходной СЛАУ. Напомним, что общее и частное решения определены неоднозначно в силу неоднозначности выбора главных переменных и значений свободных переменных.

Задача

Найти общее решение и фундаментальную систему решений (ФСР) для следующей системы уравнений:

$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&+2x_2&+4x_3&-3x_4&=0 \\
3x_1&+5x_2&+6x_3&-4x_4&=0 \\
4x_1&+5x_2&-2x_3&+3x_4&=0 \\
3x_1&+8x_2&+24x_3&-19x_4&=0
\end{array}
\right. $$

Решение:

Аналогично предыдущему решению, найдем общее решение системы.$$A = \left(\left.\begin{matrix}
1 & 2 & 4 & -3 \\
3 & 5 & 6 & -4 \\
4 & 5 & -2 & 3 \\
3 & 8 & 24 &-19
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
\sim
\left(\left.\begin{matrix}
1&2&4&-3\\
0&-1&-6&5\\
0&-3&-18&15\\
0&2&12&-10
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)
\sim$$ $$\sim
\left(\left.\begin{matrix}
1&2&4&-3\\
0&-1&-6&5\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{matrix}\right)$$Заметим, что $\mathrm{rang}A=2$.$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1&+2x_2&+4x_3&-3x_4&=0 \\
&-x_2&-6x_3&-15x_4&=0
\end{array}
\right.
$$Общее решение исходной СЛАУ:$$
\left\{
\begin{array}{l l}
x_1 & = &+8x_3 &-7x_4\\
x_2 & = &-6x_3 &+5x_4
\end{array}
\right.
$$ФСР состоит из $k=(n-\mathrm{rang}A)$ векторов, где $n$ — количество переменных. В нашем случае $k=2$, значит ФСР будет состоять из двух векторов $c_1$ и $c_2$. Возьмем произвольные значения свободных переменных:$$\begin{array}{c|c|c|c|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
\hline
c_1 & & & 1 & 0\\
\hline
c_2 & & & 0 & 1
\end{array}$$Подставив эти значения в общее решение СЛАУ, найдем значения главных переменных:
$$\begin{array}{c|c|c|c|c}
& x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
\hline
c_1 & 8 & -6 & 1 & 0\\
\hline
c_2 & -7 & 5 & 0 & 1
\end{array}$$Таким образом, ФСР исходной СЛАУ — это система $<(8, -6, 1, 0), (-7, 5, 0, 1)>$.

Литература

  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968, с.77-88.

Тест

Тест служит проверкой навыков нахождения решений СЛАУ.

Таблица лучших: СЛАУ

максимум из 2 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *