Критерии первообразности
[latex] U_n[/latex] — циклическая группа корней [latex] n[/latex]-й степени из единицы. Образующий элемент группы [latex] U_n[/latex] называется первообразным корнем [latex] n[/latex]-й степени из единицы.
Теорема 1 (Первый критерий первообразности)
Корень [latex] n[/latex]-й степени из единицы будет первообразным корнем [latex] n[/latex]-й степени из единицы [latex] \Leftrightarrow[/latex] не является корнем из единицы никакой степени [latex] <n[/latex].
Доказательство
Необходимость:
[latex] E[/latex] – первообразный корень степени [latex] n[/latex] из единицы .
[latex] \forall m \in \mathbb{N}[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex] E^m \ne 1[/latex];
[latex] U_n=[/latex] [latex]\{1, E, E^2, …, E^{n-1}\}[/latex].
От противного. Пусть [latex] E^m= 1[/latex], [latex] m < n[/latex], тогда [latex] E[/latex] образует группу [latex] {U}'_n[/latex] (или [latex] U_m[/latex]) = [latex]\{1, E, E^2, …, E^{m-1}, E^m\}[/latex] = [latex]\{1, E, E^2, …, E^{m-1}\}[/latex], где [latex] E^m= 1[/latex] и [latex] {U}'_n= m[/latex], но [latex] m < n \Rightarrow [/latex] [latex] {U}'_n \ne U_n \Rightarrow [/latex] [latex] E[/latex]- не образующий элемент [latex] U_n[/latex]. Получаем, что [latex] \forall m \in \mathbb{N}[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex] E^m \ne 1[/latex].
Достаточность:
[latex] \forall m \in \mathbb{N}[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex] E^m \ne 1 \Rightarrow [/latex]
[latex] E[/latex] — первообразный корень из единицы степени [latex]n[/latex].
От противного. Пусть [latex] E[/latex]-не является первообразным корнем [latex] n[/latex]-й степени из единицы [latex] \Rightarrow E [/latex] не образует группу [latex] U_n \Rightarrow [/latex]
[latex] U^E_n= {E^0, E^1, E^2,…< E^{n-1} } \ne U_n \Rightarrow U^E_n \in U_n \Rightarrow \exists k, 1 \leqslant k \leqslant n-1,[/latex] что [latex] E^{k-1}=1[/latex], но [latex] 0 \leqslant k+1 < n-1 [/latex], [latex] m= k-1 \Rightarrow[/latex] [latex] \exists m \in \mathbb{N}[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex] E^m = 1 \Rightarrow [/latex] [latex] E[/latex] – первообразный корень степени [latex] n[/latex] из [latex] 1[/latex].
Лемма
Если [latex] E[/latex] — первообразный корень степени [latex] n[/latex] из единицы, то
[latex] E^m= 1 \Leftrightarrow m \vdots n[/latex].
Доказательство
Необходимость:
Найдём [latex] m= nq+r[/latex], [latex] 0 \leq r \leq n-1[/latex];
[latex] 1= E^m= E^{nq+n}= E^{nr}E^r= (E^n)^qE^r= 1^qE^r= E^r[/latex].
Если [latex] r \in \mathbb{N}[/latex], то получим противоречие с первым критерием [latex] r=0 \Rightarrow m \vdots n[/latex].
Достаточность: [latex] m \vdots n \Rightarrow m=nq[/latex];
[latex] E^m= E^{nq}= (E^n)^q= 1^q=1[/latex].
Теорема 2 (Второй критерий первообразности)
Пусть [latex] E [/latex] — первообразный корень степени [latex] n[/latex] из единицы, тогда [latex] E^k (k \in \mathbb{N})[/latex] является первообразным корнем степени [latex] n[/latex] из единицы [latex] \Leftrightarrow (n,k)=1[/latex].
Доказательство
[latex](n,k)= d[/latex]; [latex] n= n,d[/latex]; [latex] k= k,d[/latex]; [latex](n_1, k_1)=1[/latex].
Необходимость: [latex] E[/latex], [latex] E^n[/latex] — корни степени [latex] n[/latex] из единицы.
[latex] (n,k)=1 [/latex]
От противного. [latex] (n,k)=d > 1 \Rightarrow n_1 < n [/latex];
[latex](E^k)^{n_1} = (E^{k_1d})^{n_1}= E^{k_1dn_1}= E^{k_1(nd_1)}= E^{k_1n}= (E^n)^{k_1}= 1^{k_1}=1 \Rightarrow d=1[/latex] противоречие.
Достаточность: [latex] E [/latex] — первообразный корень степени [latex] n [/latex] из единицы;
[latex] (n,k)=1 [/latex];
[latex] E^k [/latex] — первообразный корень степени [latex] n[/latex] из единицы.
От противного. Пусть [latex] E^k [/latex] – не является первообразным корнем степени [latex] n[/latex] из единицы, тогда по первому критерию первообразности: [latex] \exists m \in N[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex](E^k)^m= 1[/latex];
[latex] E^{km}=1 \Rightarrow [/latex] по лемме [latex] km \vdots n \Rightarrow m \vdots n [/latex], но [latex] m < n [/latex] – противоречие.
ПРИМЕРЫ
Найти все первообразные корни группы [latex]U_{12}[/latex], пользуясь вторым критерием первообразности.
Даны корни из единицы [latex]E_1 = i[/latex], [latex] E_3 = -i[/latex]. Построить группу [latex] U_4[/latex].
Тест по вышеизложенному материалу
Источники
- Белозеров Г.С. Конспект лекций.
- Курош А.Г. Курс линейной алгебры. Издание тринадцатое, 2004. Стр.123-128.
- Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. Наука, 1984. Стр.43-49.
