Циклическая группа

Будем говорить, что группа G является циклической, если существует такой элемент a\in G, что всякий элемент x\in G может быть записан в виде x=a^n, где n\in Z(другими словами, если отображение f: Z\rightarrow G, определяемое формулой f(n)=a^n,сюръективно). При этом элемент a называется образующей группы G. Всякая циклическая группа, очевидно, абелева.
Примером бесконечной циклической группы служит аддитивная группа целых чисел — всякое целое число кратно числу 1, то есть это число служит образующим элементом рассматриваемой группы; в качестве образующего элемента можно было бы также взять число -1.
Примером конечной циклической группы порядка n служит мультипликативная группа корней n-ой степени из единицы. Все эти корни являются степенями одного их них, а именно первообразного корня.

Задача

Пусть G — группа с групповой операцией \ast и g\in G. Доказать, что множество H=\{g^k, (g')^k|k\in N\cup \{0\}\} является группой. Группа H является циклической, порождённой g. H=\langle g\rangle.


Решение.Введём обозначения: g'=g^{-1}, (g')^k=g^{-k}. Докажем, что для m,n\in Z выполняется g^m\ast g^n=g^{m+n}.
 m\geq 0, n\geq 0\Rightarrow g^m\ast g^n=g^{m+n}.
-n\leq m<0

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *