Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма

Найдите прямую сумму и пересечение подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

a_1=(1,2,3), a_2=(4,3,1), a_3=(2,-1,-5)
b_1=(1,1,1), b_2=(-3,2,0), b_3=(-2,3,1)

Найдем базис первой системы:
A = \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 \\  4 & 3 & 1 \\  2 & -1 & -5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 \\  0 & -5 & -11 \\  0 & -5 & -11 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3 \\  0 & -5 & -11 \\  0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\langle a_1, a_2 \rangle — базис A

Найдем базис второй системы:
B = \begin{pmatrix}  1 & 1 & 1 \\  -3 & 2 & 0 \\  -2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}  1 & 1 & 1 \\  0 & 5 & 3\\  0 & 5 & 3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}  1 & 1 & 1 \\  0 & 5 & 3\\  0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\langle b_1, b_2 \rangle — базис B

Найдем пересечение пространств \left \langle b_1, b_2 \right \rangle и \left \langle a_1, a_2 \right \rangle по формуле \alpha_1a_1+\alpha_2a_2=\beta_1b_1+\beta_2b_2=x_1
(x_1 будет базисным вектором)
\alpha_1a_1+\alpha_2a_2-\beta_1b_1-\beta_2b_2=0

\alpha_1\begin{pmatrix}1 \\2 \\ 3 \end{pmatrix}+\alpha_2\begin{pmatrix} 4 \\3\\ 1 \end{pmatrix}-\beta_1\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1 \end{pmatrix}-\beta_2\begin{pmatrix} -3 \\2\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}

\left\{  \begin{matrix}  \alpha_1 + 4\alpha_2 - \beta_1 + 3\beta_2 & = & 0 \\  2\alpha_1 + 3\alpha_2 - \beta_1- 2\beta_2 & = & 0\\  3\alpha_1 + \alpha_2 - \beta_1 & = & 0  \end{matrix}\right.

Решаем полученную систему:
\begin{pmatrix} 1&4&-1&3 \\ 2&3&-1&-2 \\ 3&1&-1&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1& 4 & -1 & 3 \\ 0& -5 & 1 & -8\\ 0& -11 & 2 & 9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1& 4 & -1 & 3 \\ 0& 1 & 0 & -7\\ 0& -5 & 1 & -8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1& 4 & -1 & 3 \\ 0& 1 & 0 & -7\\ 0& 0 & 1 & -43 \end{pmatrix}
\begin{cases} \beta_1-43\beta_2=0 \\ \alpha _2-7\beta_2=0\\ \alpha _1+4\alpha _2-\beta_1+3\beta_2=0 \end{cases}
\begin{cases} \beta_1=43\beta_2 \\ \alpha _2=7\beta_2\\ \alpha _1=12\beta_2 \end{cases}

\begin{array}{c|c|c|c|c}  & \alpha_1 & \alpha_2 & \beta_1 & \beta_2 \\ \hline C_1 & 12 & 7 & 43 & 1 \end{array}
Следовательно \dim(L_1 \cap L_2)= 1
Находим размерность суммы
\dim(L_1 + L_2)= \dim L_1 +\dim L_2-\dim (L_1 \cap L_2)=2+2-1=3
выберем из системы векторов \left \langle a_1,a_2,b_1,b_2 \right \rangle три линейнонезависимых:
\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 & 3 &1 \\ 1 &1 &1 \\ -3 &2 &0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 0 &1 &2 \\ 0& -1 &-2 \\ 1 &1 &1 \\ 0 &5 &3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0& -1 &-2 \\ 1 &1 &1 \\ 0 &5 &3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ b_1\\ b_2 \end{pmatrix}
Получаем \left \langle a_2,b_1,b_2 \right \rangle — ЛНЗ и L_1+L_2= L\left \langle a_2,b_1,b_2 \right \rangle.

x_1=\beta_1b_1+\beta_2b_2=\begin{pmatrix} 43*1+1*(-3) \\ 43*1+1*2 \\ 43*1+1*0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}40 \\45 \\43 \end{pmatrix}
И L_1\cap L_2= L\left \langle 40,45,43 \right \rangle.

Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *