Прямое дополнение

Дано пространство U \subseteq \mathbb{R}^4, натянутое на вектора a_1=(2,1,0,-3), a_2=(2,3,-1,0), то есть U = \langle (2,1,0,-3), (2,3,-1,0)\rangle.
Найдем какое-либо дополнение V к U в \mathbb{R}^4.

Проверим ЛНЗ a_1 и a_2.
rank \begin{pmatrix}  2 & 1 & 0 & -3 \\  2 & 3 & -1 & 0\end{pmatrix}= rank \begin{pmatrix}  2 & 1 & 0 & -3 \\  0 & 0 & -1 & 3\end{pmatrix}= 2 \Rightarrow
\langle a_1, a_2\rangle — базис U.
V удовлетворяет условию V \oplus U= \mathbb{R}^4.
Из первого критерия прямой суммы получаем, что объединение базисов V и U образуют базис \mathbb{R}^4. Так как \dim \mathbb{R}^4= 4 и \dim U= 2 \Rightarrow \dim V= 2. Найдем какой-либо базис V . Дополним для этого систему из векторов \langle a_1, a_2\rangle до базиса векторами стандартного базиса (e_1,e_2,e_3,e_4) в \mathbb{R}^4.
Зафиксируем в полученной системе вектора a_1, a_2 и выделим из этой системы ЛНЗ систему, содержащую эти вектора
\begin{pmatrix}  1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 1 \\  2 & 1 & 0 & -3 \\  2 & 3 & -1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}  1 & 0 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0 & 0\\  0 & 0 & 1 & 0\\  0 & 0 & 0 & 1\\  0 & 0 & 0 & -3\\  0 & 0 & -1 & 0\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}  1 & 0 & 0 & 0\\  0 & 1 & 0 & 0\\  0 & 0 & 0 & -3\\  0 & 0 & -1 & 0\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}  e_1 \\  e_2 \\  a_1 \\  a_2 \end{pmatrix} \Rightarrow
\langle e_1, e_2, a_1, a_2\rangle -ЛНЗ,
так как эта система максимальна, она и образует базис \mathbb{R}^4.
Отсюда и из рассуждения в начале получаем, что L \langle e_1, e_2\rangle= V одно из прямых дополнений к U.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *