Теорема (Критерий дифференцируемости функции)

Для того, чтобы функция $f$ была дифференцируема в точке $x_{0}$ необходимо и достаточно, чтобы она имела производную в точке $x_{0}$. При этом дифференциал функции и её производная связаны следующим равенством:
$dy={f}’ (x^{0})\Delta x$.

Доказательство

Необходимость
Если функция $f(x)$−дифференцируема в точке $x_{0}$, то $\exists A: \Delta f(x))=A+\Delta x\alpha (\Delta x)$, где: $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\alpha (\Delta x)=0$.
Отсюда получаем, что $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{A}{\Delta x}+\frac{\Delta x\alpha (\Delta x)}{\Delta x}=$$=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}A+\alpha (\Delta x)=A$. Отсюда $\exists f{}'(x_{0})=A$, откуда следут, что $dy=f{}'(x_{0})\Delta x$.

Достаточность
Если существует $f{}'(x_{0})=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$, то $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}- f{}'(x_{0}) = \alpha (\Delta x)$, где $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\alpha (\Delta x)=0$. Отсюда следует, что $\Delta f(x)=f{}'(x_{0})\Delta x+\alpha (\Delta x)\Delta x$. Полученное равенство означает, что функция $f(x)$ — дифференцируема в точке $x_{0}$.  $\square$.