M1567

Задача

Центры AB и C трех непересекающихся окружностей с одинаковыми радиусами расположены в вершинах треугольника. Из точек AB, C проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке 1. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

123344

Решение

Введем обозначения так, как показано на рисунке 1. Так как данные окружности имеют одинаковые радиусы, то:

AC_{1}=CA_{2}BA_{1}=AB_{2}, CB_{1}=BC_{2},

или

AB_{4}+B_{4}C_{5}+C_{5}C_{1}=CB_{4}+B_{4}A_{3}+A_{3}A_{2},

BC_{4}+C_{4}A_{3}+A_{3}A_{1}=AC_{4}+C_{4}B_{3}+B_{3}B_{2},

CA_{4}+A_{4}B_{3}+B_{3}B_{1}=BA_{4}+A_{4}C_{2}+C_{5}C_{2}.

Сложив полученные равенства и заметив, что

A_{3}A_{1}=A_{3}A_{2},

B_{3}B_{1}=B_{3}B_{2},

C_{3}C_{1}=C_{3}C_{2}

(как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки) и

AC_{4}=C_{4}BBA_{4}=A_{4}CCB_{4}=B_{4}A

(так как радиусы данных окружностей равны), получим

B_{4}C_{3}+C_{4}A_{3}+A_{4}B_{3}=B_{4}A_{3}+C_{4}B_{3}+A_{4}C_{3},

что и требовалось доказать.

Замечания

1. Аналогичное утверждение справедливо и в случае, изображенном на рисунке 2.

22

                                                                                                                                                       Д.Терешин

M1567: 2 комментария

  1. — «Квант» — это не ключевое слово, а место публикации задачи. Ключевые слова отражают смысл публикации.
    — Разметка должна быть семантической. Всякие style=»text-align: left» недопустимы

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *