Если каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие по некоторому закону функция $f_n(x)$, определенная на множестве $E$, то говорят, что на множестве $E$ задана функциональная последовательность $\left \{f_n (x)\right \}$. Множество $E$ называется областью определения последовательности $\left \{f_n (x)\right \}$.

Если для некоторого $x_0 \in E$ числовая последовательность $\left \{f_n (x_0) \right \}$ сходится, то говорят, что последовательность функций $\left \{f_n (x) \right \}$ сходится в точке $x_0$. Последовательность функций, сходящуюся в каждой точке $x \in E$, называют сходящейся на множестве $E$.

Если $\underset {n \to \infty}{\lim} f_n(x) = f(x)$ для всех $x \in E$, то говорят, что последовательность $\left \{f_n (x) \right \}$ на множестве $E$ сходится к функции $f(x)$. Эту функцию называют предельной функцией последовательности.

Пусть задана последовательность функций $\left \{ f_n(x) \right \}$ и предельная функция $f(x)$. Говорят, что последовательность функций равномерно сходится на множестве $E$ к функции $f(x)$ если
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|f_n(x)-f(x) \right| < \varepsilon .$$
Последовательность $\left \{ f_n(x) \right \}$ называется равномерно сходящейся на $E$, если существует функция $f(x)$, к которой она равномерно сходится.

Аналогично вводим понятие функциональных рядов. Пусть каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие по некоторому закону функция $u_n(x)$, определенная на множестве $E$. Формально говоря нам дана функциональная последовательность $\left \{ u_n(x) \right \}$.

Выражение вида $u_{ 1 }(x)+u_2(x) +\dots +u_n(x) +\dots =\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)$ называется функциональным рядом. Если для некоторого $x_0 \in E$ числовой ряд $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)$ сходится, то говорят, что функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ сходится в точке $x_0$. Функциональный ряд, сходящийся в каждой точке $x \in E$, называют сходящимся на множестве $E$.

Сумма $n$ первых членов ряда $S_n(x) = \overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}u_k(x)$ называется его частичной суммой. Заметим, что частичная сумма сама является функцией. Мы получаем функциональную последовательность $\left \{ S_n(x) \right \}$.

Пусть задан функциональный ряд $\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)$, члены которого являются функциями, определенными на множестве $E$. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве $E$, если последовательность его частичных сумм равномерно сходящаяся на множестве $E$. Согласно определению равномерной сходимости последовательности функции, существует такая функция $S(x)$, что
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \varepsilon .$$
Обозначим $S_n(x)-S(x)=r_n(x)$ — $n$-ый остаток ряда, получаем $r_n(x) = \overset{\infty}{\underset{k=n+1}{\sum}}u_k(x)$. Тогда условие сходимости ряда примет вид: $$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|r_n(x)\right| < \varepsilon .$$
Это означает, что какое бы мы маленькое $\varepsilon$ не взяли, начиная с некоторого номера $n$, $n$-ый остаток ряда будет меньше этого $\varepsilon$.