Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

Введём понятия абсолютно и условно сходящихся несобственных интегралов.

Пусть дан несобственный интеграл I=\int_{a}^{b}f(x)dx:

  • интеграл I называется абсолютно сходящимся, если сходится \widetilde{I}=\int_{a}^{b}|f(x)|dx;
  • интеграл I называется условно сходящимся, если интеграл I сходится, а  \widetilde{I} — расходится.

В случае абсолютной сходимости интеграла I говорят, что функция f(x) абсолютно интегрируема на полусегменте \left[a,b\right).

Пример
... показать
Теорема 1

Пусть f\in{R([a,\xi))} для всех a<\xi<b. Тогда из сходимости несобственного интеграла \widetilde{I}=\int_{a}^{b}|f(x)|dx следует сходимость несобственного интеграла I=\int_{a}^{b}f(x)dx и справедливо неравенство:

\left|\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx
... показать
Теорема 2

Если функция g(x) абсолютно интегрируема на промежутке \left[a;b\right), то несобственные интегралы I_{1}=\int_{a}^{b}f(x)dx и I_{2}=\int_{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)dx сходятся или расходятся одновременно.

... показать

Замечание

Ни на сходимость, ни на характер сходимости прибавление или вычитание под знаком интеграла абсолютно интегрируемой функции не влияет.

Пример

В качестве примера, исследуем интеграл на абсолютную и условную сходимость. Возьмём интеграл I=\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx.

... показать
Литература
Тесты

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

Проверьте свои знание по теме «Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов».

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов: 1 комментарий

  1. — Если формула занимает отдельную строку, то пределы интегрирования нужно ставить над и под знаком интеграла. И в тексте и в тестах.
    — В тесте «Из сходимости несобственного интеграла… » Один из вариантов ответа не имеет математического смысла — dx под знаком модуля.
    — Рисунков не обнаружил, а они обязательны. Можно, например, показать области абсолютной сходимости какого-нибудь интеграла с параметрами…
    — Точка в названии

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *