Замена переменных

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на промежутке [a,b) и интегрируема в каждой части этого отрезка, не содержащей точки b, которая может быть и +\infty.

Рассмотрим теперь функцию x=\phi(t), которая является монотонно возрастающей и непрерывной вместе со своей производной \phi'(t) на промежутке [\alpha,\beta). Допустим, что \phi(\alpha)=a и \phi(\beta)=b. Равенство \phi(\beta)=b следует понимать как \lim_{t \to \beta}\phi(t)=b. Если соблюдены все вышеперечисленные условия, то имеет место равенство:

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)=\int\limits_{a}^{b}f(\phi(t))\phi'(t)dt$$

при условии, что один из этих интегралов сходится. Из существования одного из двух интегралов в равенстве вытекает существование второго. Второй интеграл будет либо собственным,либо несобственным с единственной особой точкой \beta.

Доказательство

Пусть теперь x_0 и t_0 будут произвольными, но соответствующими значениям x и t и их промежуткам (a,b) и (\alpha, \beta). Тогда будем иметь:

$$\int\limits_{a}^{x_0}f(x)=\int\limits_{a}^{t_0}f(\phi(t))\phi'(t)dt$$

Если существует второй из интегралов, будем приближать произвольным образом x_0 к b, при этом t_0=\theta(x_0) устремится к \beta, существование второго интеграла доказано. Данное рассуждение одинаково применимо и к монотонно убывающей функции.

Пример показать

Литература

Тест : Замена переменных

Тест на знание метода замены переменных в случае несобственных интегралов

Замена переменных: 1 комментарий

  1. — В Ваших статьях практически нет разметки. Даже список литературы у Вас не оформлен как список. Это не приемлемо.
    — На все статьи должен быть хоть один рисунок.
    — «непрерывна на отрезке [a,b) » — это не отрезок. Отрезок включает концы. Интервал — не включает. Промежуток более общее понятие, которое и должно здесь использоваться. Исправьте в тексте и тестах.
    — Обязательно покажите свои тексты преподавателю матанализа.
    — Если формула в тексте или тестах занимает отдельную строку, то подстрочные и надстрочные записи в интегралах, суммах и пределах не нужно вытягивать в линию, а нужно писать именно под и над знаками.
    — Если Вы ссылаетесь на издание Фихтенгольца 2001 года, то обязательно укажите ссылку в сети, где Вы его нашли. Я разместил для ознакомления издание 1964 года и буду рад получить более свежее.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *