Несобственный интеграл на неограниченном промежутке

Пусть функция [latex]f(x)[/latex] определена в промежутке [latex][a,+ \infty),[/latex] т.е. для [latex]x \geq a[/latex], и интегрируема в любой конечной его части [latex][a,A],[/latex] так что интеграл [latex]\int_{a}^{A}f(x)dx[/latex] имеет смысл при любых [latex]A\geq a.[/latex]

Предел этого интеграла (конечный или бесконечный) при [latex]A \to +\infty[/latex] называют интегралом функции [latex]f(x)[/latex] от [latex]a[/latex] до [latex]+\infty[/latex] и обозначают символом $$\int\limits_{a}^{\infty}f(x)dx=\lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A}f(x)dx(1)$$

В случае, если этот предел конечен, говорят, что интеграл [latex](1)[/latex] сходится, а функцию [latex]f(x)[/latex] называют интегрируемой в бесконечном промежутке [latex][a,+ \infty)[/latex]. Если же предел [latex](1)[/latex] бесконечен или вовсе не существует, то про интеграл говорят, что он расходится. В отличие от собственного интеграла, этот интеграл называются несобственным.

Спойлер

$$\int\limits_{0}^{\infty}\cos(x)dx=\lim_{b \to +\infty}\int\limits_{0}^{b}\cos(x)dx=\lim_{b \to +\infty}\sin(x)\mid_{0}^{b}=\lim_{b \to +\infty}(\sin(b)-\sin(0))=$$$$\lim_{b \to +\infty}\sin(b)$$ этого предела не существует, следовательно интеграл расходится.

[свернуть]

Спойлер

$$\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+6x+7}=\lim_{b \to +\infty}\int\limits_{0}^{b}\frac{d(x+3)}{(x+3)^2-2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\lim_{b \to +\infty}\ln\bigg|\frac{x+3-\sqrt{2}}{x+3+\sqrt{2}}\bigg|\Bigg|_{0}^{b}=$$$$\frac{1}{2\sqrt{2}}\lim_{b \to +\infty}\bigg(\ln\Big|\frac{b+3-\sqrt{2}}{b+3+\sqrt{2}}\Big|-\ln\Big|\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}\Big|\bigg)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\bigg[\ln1-\ln\Big|\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}\Big|\bigg]=$$$$\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\Big|\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}\Big|=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\frac{11+6\sqrt{2}}{7}$$ интеграл сходится.

[свернуть]

Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом определяется интеграл в пределах от [latex]-\infty[/latex] до $b:$ $$\int\limits_{-\infty}^{b}f(x)dx = \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b}f(x)dx$$

Спойлер

$$\int\limits_{-\infty}^{0}e^xdx=\lim_{b \to -\infty}\int\limits_{b}^{0}e^xdx=\lim_{b \to -\infty}e^x\mid_{b}^{0}=e^0-\lim_{b \to -\infty}(e^b)=e^0=1$$ этот интеграл сходится.

Так выглядит данная функция, цветом же выделена область интеграла

[свернуть]