Теорема о неявной функции многих переменных

Определим дополнительные термины:

Пусть $A$ и $B$ — произвольные множества. Тогда декартовым произведением $A\times B$ называется множество пар $\left(x,y \right)$, $x\in A$, $y\in B$.
Клеточной окрестностью точки $x^{0}=\left(x_{1}^{0},…,x_{n}^{0} \right)$ называется множество $K\left(x^{0} \right)=\left\{x: x\in R^{n}, \left|x_{i}-x_{i}^{0} \right|\leq \varepsilon _{i}, i=\overline{1, n} \right\}$, $\varepsilon _{i}>0$, $i=\overline{1, n}$.
Пусть $K\left(x^{0} \right)\subset R^{n}$ и $Q\left(y^{0} \right)\subset R^{m}$- клеточные окрестности. Тогда декартово произведение $K\left(x^{0} \right)\times Q\left(y^{0} \right)$ — это клеточная окрестность точки $\left(x^{0},y^{0} \right)=\left(x_{1}^{0},…,x_{n}^{0},y_{1}^{0},…,y_{m}^{0} \right)$ в пространстве $R^{n+m}$.

Определение

Пусть $K\left(x^{0} \right)\subset R^{n}$ и $Q\left(y^{0} \right)\subset R^{m}$ — клеточные окрестности. Система уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$, где $x=\left(x_{1},…,x_{n} \right)$, $y=\left(y_{1},…,y_{m} \right)$, определяет в $K\left(x^{0} \right)\times Q\left(y^{0} \right)$ переменные $y_{1},…, y_{m}$ как неявные функции переменных $x_{1},…, x_{n}$, если $\forall x\in K\left(x^{0} \right)$ $ \exists ! y\in Q\left(y^{0} \right): F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$.

Теорема о неявной функции многих переменных

Пусть выполнены следующие условия:

Функции $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$, непрерывно дифференцируемы в клеточной окрестности точки $\left(x^{0}, y^{0} \right)$;
$F_{i}\left(x^{0}, y^{0} \right)=0$, $i=\overline{1, m}$;
$$\begin{vmatrix}\frac{\partial F_{1}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{1}}{\partial y_{m}} \\\cdots & \cdots & \cdots \\\frac{\partial F_{m}}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial F_{m}}{\partial y_{m}}\end{vmatrix}_{\left(x^{0}, y^{0} \right)}\neq 0$$
Тогда найдутся клеточные окрестности $K\left(x^{0} \right)\subset R^{n}$ и $Q\left(y^{0} \right)\subset R^{m}$ такие, что в $K\left(x^{0} \right)\times Q\left(y^{0} \right)$ система уравнений $F_{i}\left(x, y \right)=0$, $i=\overline{1, m}$ определяет переменные $y_{1},…, y_{m}$ как неявные функции переменных $x_{1},…, x_{n}$. Неявные функции $y_{j}=\varphi _{j}\left(x \right)$ непрерывно дифференцируемы в $K\left(x^{0} \right)$ и $y_{j}^{0}=\varphi _{j}\left(x^{0} \right)$, $j=\overline{1, m}$.

Доказательство

... показать

Литература

Теорема о неявной функции многих переменных

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Теорема о неявной функции многих переменных

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *