Доказательство

Докажем вначале теорему для [latex]f(x)[/latex] неотрицательной. Покажем, что функция [latex]\Phi (\xi )[/latex] возрастает. Действительно, для любых [latex]{\xi}_{1}[/latex], [latex]{\xi}_{2}[/latex] из [latex]\left[ a ,b \right)[/latex], [latex]{\xi}_{1}<{\xi}_{2}[/latex]
$$ \Phi({ \xi }_{ 1 })-\Phi({ \xi }_{ 2 })=\overset { { \xi }_{ 1 } }{ \underset { a }{\int} } f(x)dx-\overset{ { \xi }_{ 2 } }{ \underset { a }{\int} } f(x)dx=\overset { { \xi }_{ 2 } }{ \underset { { \xi }_{ 1 } }{ \int } } f(x)dx \ge 0 ,$$ так как [latex]f(x)[/latex] неотрицательна.

Из определения сходимости несобственного интеграла, интеграл [latex]\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx }[/latex] сходится тогда, когда существует конечный предел $$ \underset { \xi \rightarrow b-0 }{ \lim } \overset { \xi }{ \underset { a }{ \int } } f(x)dx=\underset { \xi \rightarrow b-0 }{ \lim }\Phi (\xi ) ,$$ а данный предел существует как предел монотонной и ограниченной функции [latex]\Phi (\xi )[/latex].

В случае если [latex]f(x)[/latex] — неположительная, то рассмотрим функцию [latex]g(x) = -f(x)[/latex] — неотрицательную. Из сходимости g(x) следует сходимость f(x), а для g(x) теорема уже доказана.