Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке

Определение стационарной точки(для функции многих переменных)

В терминах частных производных

Стационарными называются точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль.
 \left.\begin{matrix}\\{f_{x_{1}}}'\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)=0\\{f_{x_{2}}}'\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)=0\\.........................\\{f_{x_{n}}}'\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)=0\end{matrix}\right\}

В терминах дифференциалов

Если функция f\left(x\right) дифференцируема в точке x^{0} и df\left(x^{0}\right)=0, то точка x^{0} называется стационарной точкой функции f\left(x\right).

Точка экстремума дифференцируемой функции в силу необходимых условий экстремума будет стационарной точкой. Обратное утверждение не верно. Стационарная точка может не быть точкой экстремума.

Функции, достигающие стационарную точку не в экстремуме

Пример

Показать, что \left(0,0\right) является стационарной точкой функции f\left(x,y\right)=xy, но \left(0,0\right) не есть точка экстремума этой функции.

График функции z=xy.

1234

Так как df\left(x,y\right)=ydx+xdy, то df\left(0,0\right)=0 и \left(0,0\right) есть стационарная точка функции f\left(x,y\right). Но для любого \delta>0 точки \left(\delta,\delta,\right) и \left(\delta,-\delta,\right) лежат в круге S_{2\delta}\left(0,0\right) и

f\left(\delta,\delta\right)=\delta^{2}>f\left(0,0\right)=0,

f\left(\delta,-\delta\right)=-\delta^{2}<f\left(0,0\right)=0.

Поэтому \left(0,0\right) не есть точка экстремума функции f\left(x,y\right).

Литература

Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке: 1 комментарий

  1. — Тестов нет.
    — Установите размер рисунка так, чтобы не было так много пустого пространства в нижней части.
    — Указано «Функции, достигающие экстремум НЕ в стационарной точке», а в примере стационарная точка НЕ экстремум. Это ведь разные вещи?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *