Радиус сходимости степенного ряда. Первая теорема Абеля.

Радиус сходимости степенного ряда.

Радиусом сходимости степенного ряда называют радиус круга сходимости степенного ряда \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n} на комплексной плоскости (или степенного ряда \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} на действительной числовой оси), то есть такое число r, что ряд сходится при любых\mid z\mid<r (соответственно при \mid x\mid<r ) и расходится при \mid z\mid>r (соответственно при \mid x\mid>r ). На границе же круга сходимости ситуация неопределенная, так как ряд может как сходиться, так и расходиться.  Если же ряд сходится на всей числовой прямой R,  то мы можем утверждать, что R=\infty.
В точках x=\pm R общего утверждения о сходимости сделать нельзя (то есть бывают ряды, сходящиеся в обеих этих точках, бывают – сходящиеся лишь в одной из них, бывают – расходящиеся в обеих точках).

Существование радиуса сходимости.

 

Для всякого степенного ряда вида \sum\limits_{0}^{\infty}c_{n}z^{n} \exists R

\left ( R\geq 0 \right ), либо \left ( R=+\infty\right ):

a) если R\neq 0 и R\neq+\infty, то ряд сходится в круге
K=\left \{ z \right. : \left.\mid z\mid <R\mid\right \} и расходится вне круга K.

б) если R=0, то ряд сходится только в одной точке z=0.

в) если R=+\infty, то ряд сходится во всей комплексной плоскости.

Доказательство:

Пусть D — множество всех точек сходимости ряда (то есть область сходимости).

D\neq 0

Если D — неограниченное, то ряд сходится в любой точке комплексной плоскости.

\forall\widetilde{z}\in\mathbb{C}\quad\exists z_{0}\in D: \mid z_{0}\mid>\mid\widetilde{z}\mid тогда по теореме Абеля ряд сходится в \widetilde{z}
\left ( R = + \infty \right ).

Пусть D — ограниченное. Если D одноточечное множество, то ряд сходится при z_{0}=0 и расходится  \forall z\neq 0. Если  D содержит хотя-бы 1 точку отличную от 0, то R=\sup\limits_{z\in D}\mid z\mid

\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}z^{n} — сходится,

K=\left \{ z\right.: \mid z\mid<\left. R\mid\right \}

\widetilde{z}\in K\Rightarrow\mid\widetilde{z}\mid<R

По ограниченности sup\quad\exists z_{1}\in D:\mid\widetilde{z}\mid<\mid z_{1}\mid<R.

\left ( \sum\limits_{n=0}^{\infty } c_{n}r_{1}^{n}<\infty \right )\Rightarrow\sum\limits_{n=0}^{\infty }c_{n}\widetilde{z}^{n}<\infty сходится. Пусть теперь {z}'\in K\left ( \mid{z}'\mid >R \right )\Rightarrow {z}'\notin D, то есть ряд расходится в точке {z}'. На границе круга сходимости ряд может как сходится так и расходится.

Рисунок показать

Теорема Абеля

Если степенной ряд \sum\limits_{n=0 }^{\infty }c_{n}z^{n} сходится в точке при z=z_{0}\neq 0, то он сходится абсолютно при любом z таком, что \mid z\mid <\mid z_{0}\mid, а если этот ряд расходится в точке z=z_{1}, то он будет расходится \forall z: \mid z\mid >\mid z_{1}\mid.

Доказательство показать

Первая теорема Абеля

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Первая теорема Абеля

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных