Для того чтобы ряд $\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}$ сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon >0$ существовал такой номер $N_{\varepsilon }$, что для любого $n>N_{\varepsilon }$ и при любом натуральном $p > 0$ выполнялось неравенство: $$\left| a_{n+1}+a_{n+2}+…+a_{n+p} \right|<\varepsilon$$ .

По определению, сходимость ряда эквивалентна сходимости последовательности его частичных сумм $S_{n}$. В силу критерия Коши для последовательностей, сходимость последовательности ${S_{n}}$ эквивалентна ее фундаментальности. Фундаментальность последовательности ${S_{n}}$ означает, $\forall \varepsilon >0, \exists N_{\varepsilon }: \forall n\geq N_{\varepsilon }, \forall p\in \mathbb{N}\rightarrow \left| S_{n+p}- S_{n} \right|<\varepsilon$. При этом:$S_{n+p}-S_{n}=a_{1}+\ldots+a_{n}+a_{n+1}+\ldots+a_{n+p}-(a_{1}+\ldots+a_{n})=$$a_{n+1}+\ldots+a_{n+p},$ тем самым теорема доказана.