Доказательство

Достаточность

Для доказательства воспользуемся методом математической индукции и вспомогательной леммой.

База индукции

Для $n=1$ достаточность очевидна.

Предположение индукции

Положим, что для $n>1$ из положительности угловых миноров матрицы квадратичной формы $n-1$ порядка включительно следует возможность приведения квадратичной формы от $n-1$ переменных $x_{1}, x_{2},…,x_{n-1}$ к виду $Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}$.

Шаг индукции

Покажем, что достаточность имеет место и для квадратичной формы, зависящей от $n$ переменных.

В выражении для квадратичной формы, зависящей от $n$ переменных $x_{1}, x_{2},…,x_{n-1}, x_{n}$, выделим слагаемые, содержащие $x_{n}$:

$Q\left(x \right)=\sum_{j=1}^{n-1}{\sum_{i=1}^{n-1}{b_{ji}x_{j}x_{i}}}+2\sum_{j=1}^{n-1}{b_{jn}x_{j}x_{_{n}}}+b_{nn}x_{n}^{2}$.

Сумма $\sum_{j=1}^{n-1}{\sum_{i=1}^{n-1}{b_{ji}x_{j}x_{i}}}=Q^{*}\left(x_{1}, x_{2},…,x_{n-1} \right)$ в правой части этого равенства является квадратичной формой $Q^{*}\left(x \right)$, зависящей от $n-1$ переменной, причём её угловые миноры совпадают с угловыми минорами $Q\left(x \right)$ её матрицы до порядка $n-1$ включительно, которые положительны по условию.

Следовательно, по предположению индукции, квадратичная форма $Q^{*}\left(x \right)$ положительно определённа и для неё существует невырожденная замена переменных

$x_{i}=\sum_{i=1}^{n-1}{\gamma _{ji}y_{i}}, j=1,…,n-1,$

приводящая её к каноническому виду: $Q^{*}\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n-1}{y_{i}^{2}}$.
Запишем квадратичную форму $Q\left(x \right)$ в новых переменных:

$Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n-1}{y_{i}^{2}}+2\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{‘}y_{i}x_{_{n}}}+b_{nn}x_{n}^{2}$

и выделим полные квадраты по $y_{1}, … y_{n-1}$:

$Q(x)=\sum_{i=1}^{n-1}{(y_{i}^{2}+2b_{in}^{‘}y_{i}x_{n}+b_{in}^{‘2}x_{n}^{2})}+(b_{nn}-\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{‘2}})x_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n-1}{z_{i}^{2}}+b_{nn}^{»}x_{n}^{2}$,

где $b_{nn}^{»}=b_{nn}-\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{‘2}}$, $z_{i}=y_{i}+b_{in}^{‘}x_{n}$, $i=1,…,n-1$.

В матричном виде эту замену переменных можно описать как

$\begin{pmatrix}z_{1}\\ z_{2}\\ …\\ z_{n-1}\\ x_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &… &0 &b’_{1,n} \\ 0& 1 & … & 0 & b’_{2,n}\\ …& …& … &… &… \\ 0 & 0 & … & 1& b’_{n-1,n}\\ 0& 0 & … & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ …\\ y_{n-1}\\ x_{n}\end{pmatrix}$,

и поскольку её определитель отличен от нуля, то эта замена невырожденная.

Наконец, определитель матрицы квадратичной формы сохраняет знак при замене базиса. Определитель матрицы $B$ квадратичной формы в исходном базисе положительный, поскольку этот определитель является угловым минором порядка $n$. Но из выражения для $Q \left(x \right)$ в конечно базисе мы получаем, что определитель квадратичной формы $Q \left(x \right)$ равен $b»_{nn}$. Поэтому $b»_{nn}>0$ и можно ввести переменную $z_{n}=\sqrt{b»_{nn}}x_{n}$, в результате чего получаем канонический вид квадратичной формы $Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{z_{i}^{2}}$.

Отсюда следует, что квадратичная форма $Q\left(x \right)$ положительно определена.

Достаточность доказана.

Необходимость

Дано, что квадратичная функция положительно определена, нужно доказать положительность угловых миноров её матрицы. Снова применим метод математической индукции по числу переменных $n$.

База индукции

Для $n=1$ достаточность очевидна.

Предположение индукции

Пусть для $n>1$ и для форм от меньшего числа переменных утверждение теоремы верно.

Шаг индукции

Поскольку квадратичная форма $Q^{*}\left(x \right)$ из доказательства достаточности также является положительно определённой, то по предположению индукции следует, что её угловые миноры, совпадающие с угловыми минорами матрицы $B$ до порядка $n>1$, положительны. А определитель самой матрицы $B$, который является угловым минором порядка $n$,положителен, поскольку $Q\left(x \right)$ приводится к каноническому виду $Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{z_{i}^{2}}$, и определитель матрицы полученной при этом квадратичной формы равен $1$ и имеет такой же знак, как и определитель матрицы $B$.

Необходимость доказана.

Теорема доказана.