Определение дифференцируемой функции

Дифференцируемость функции нескольких переменных
Если у Вас возникли трудности с понятием дифференцируемой функции в одномерном случае, то ознакомьтесь со статьей «Дифференцируемые функции и дифференциал».

Пусть действительная функция нескольких переменных $f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^m$ $(f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R)$ определена в некоторой окрестности точки $x\in R^n$ и $\Delta x=(\Delta x_{1}\dots\Delta x_{n})$ — такой вектор независимых переменных, что точка $x+\Delta x$ тоже принадлежит этой окрестности. В этом случае определено полное приращение функции $f$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$ ,

соответствующее приращение $\Delta x$ переменных в точке $x$ . Напомним, что

$||\Delta x||=\sqrt{(\Delta x_{1})^2+\dots +(\Delta x_{n})^2}$ .

Определение. Функцию $f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R$ , определенную в некоторой окрестности точки $x$ , называют дифференцируемой в точке $x$ , если ее полное приращение в окрестности этой точки можно представить в виде

$\Delta f(x)=a_{1}\Delta x_{1}+a_{2}\Delta x_{2}+\dots +a_{n}\Delta x_{n}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|, \ \ \ (1)$

где коэффициенты $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ не зависят от приращений $\Delta x$ , а функция $\alpha(\Delta x)$ является бесконечно малой при $\Delta x\rightarrow 0$ .

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Если функция нескольких переменных дифференцируема в точке $x$ , то у этой функции в точке $x$ существуют все частные производные $f_{x_{i}}^{\prime}(x)$ , $i=\overline{1,n}$ , причем коэффициенты $a_{i}$ в представлении (1) равны значениям соответствующих частных производных в точке $x$ :

$a_{i}=f_{x_{i}}^{\prime}(x), i=\overline{1,n}$ .

Доказательство
Для дифференцируемой в точке $x$ функции $f$ представление (1) верно для любого приращения $\Delta x$ имеет вид

$\Delta x=(0,\dots, 0 ,\Delta x_{i}, 0,\dots, 0)$ ,

$\Delta x_{i}\neq0$ ,
где номер

$i$ выбран произвольным образом и зафиксирован. В этом случае

$||\Delta x||=|\Delta x_{i}|$ , соответствующее полное $\Delta f(x)$ функции $f(x)$ сводится к ее $i-$ му частному приращению $\Delta_{i}f(x)$ , а равенство (1) принимает вид

$\Delta f(x)=\Delta_{i}f(x)=a_{i}\Delta x_{i}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|$ .

Разделив последнее равенство на $\Delta x_{i}$ и перейдя к пределу при $\Delta x_{i}\rightarrow 0$ , получим

$\lim\limits_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}{\frac{\Delta_{i}f(x)}{\Delta x_{i}}}=a_{i}+\lim\limits_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}{(\alpha(\Delta x)\frac{|\Delta x_{i}|}{\Delta x_{i}})}=a_{i}$ ,

поскольку функция $\alpha(\Delta x)$ бесконечно малая при $\Delta x_{i}\rightarrow 0$ , а отношение $\frac{|\Delta x_{i}|}{\Delta x_{i}}=\pm 1$ ограничено, так что последний предел равен нулю. Следовательно, производная $f_{x_{i}}^{\prime}(x)$ в точке $x$ существует и равна $a_{i}$ .
Следствие. Если функция нескольких переменных $f:R^n\rightarrow R$ дифференцируема в точке $x$ , то ее полное приращение $\Delta f(x)$ можно представить в виде

$\Delta f(x)=f_{x_{1}}^{\prime}(x)\Delta x_{i}+\dots +f_{x_{n}}^{\prime}(x)\Delta x_{n}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|$ ,

где при $\alpha(\Delta x)\rightarrow 0$ $\Delta x\rightarrow 0$ .

Литература

Тест: Определение дифференцируемой функции

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Задание 1 из 3

1.

Количество баллов: 4

Рубрика: Математический анализ

Найти производные функций двух переменных по переменной $y$ :

Элементы сортировки

$4x^2+3y^2$
$x^y\ln x$
$xe^{xy}$
$-3\cos(2x-3y)$

$4x^2y+y^3-56$

$x^y$

$e^{xy}$

$\sin(2x-3y)$

Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 3

Рубрика: Математический анализ
Пусть функция нескольких переменных $f:R^n\rightarrow R$ определена в некоторой окрестности точки $x\in R^n$ и $\Delta x=(\Delta x_{1}\dots\Delta x_{n})^T$ — такой вектор независимых переменных, что точка $x+\Delta x$ тоже принадлежит этой окрестности. В этом случае определено полное приращение функции $f$
- $\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$
- $\Delta f(x)=f(x+\Delta x)$
- $\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-\Delta f$
- $f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 3

Рубрика: Математический анализ
Если функция нескольких переменных $f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R$ дифференцируема в точке $x$ , то у этой функции в точке $x$ существуют все
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Тест: Определение дифференцируемой функции

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных