Пусть:
- функция f непрерывна и имеет ограниченную первообразную F при x∈[a;+∞);
- функция g непрерывно дифференцируема и убывает на полуинтервале [a;+∞);
- limx→+∞g(x)=0.
Тогда интеграл I=∫+∞af(x)g(x)dx сходится.
Покажем, что функция fg удовлетворяет условию Коши на промежутке [a,+∞). Проинтегрируем эту функцию по частям:
где ξ′,ξ»>a.
По первому условию теоремы можно утверждать, что:
Обратим внимание на то, что при g′(x)≤0 выполняется |g′(x)|=−g′(x), и при g′(x)≥0 выполняется |g′(x)|=g′(x). Рассмотрим эти два случая:
- I1=ξ»∫ξ′|g′(x)|dx=−ξ»∫ξ′g′(x)dx=g(ξ′)−g(ξ»);
- I1=ξ»∫ξ′|g′(x)|dx=ξ»∫ξ′g′(x)dx=g(ξ»)−g(ξ′).
Получается, что
Тогда:
Поскольку limx→+∞g(x)=0, то
Для ξ′,ξ»∈[δε,+∞) из неравенства (*) и предыдущего условия следует, что
Получили, что функция fg удовлетворяет условию Коши, и по критерию Коши сходимости интегралов I=∫+∞af(x)g(x)dx сходится.
Рассмотрим признак Абеля сходимости несобственных интегралов. Этот признак является следствием из признака Дирихле.
Если на полуоси [a,+∞):
- функция f непрерывна и интеграл ∫+∞af(x)dx сходится;
- функция g непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна,
то интеграл +∞∫af(x)g(x)dx сходится.
Заметим, что интегралы ∫+∞af(x)g(x)dx и ∫+∞af(x)[−g(x)]dx имеют одинаковый характер сходимости. Также, в силу монотонности функции g, одна из функций g или −g убывает.
Предположим, что убывает функция g. Поскольку эта функция ограничена и монотонна, то существует конечный предел limx→+∞g(x)=c. Так как функция g убывает, то при x стремящемся к +∞ разность g(x)−c тоже стремится к нулю.
Перепишем произведение функций f и g в следующем виде:
В силу сходимости интеграла ∫+∞af(x)dx, интеграл ∫+∞acf(x)dx сходится. Из этого же условия следует, что интеграл F(x)=∫xaf(t)dt ограничен. Действительно, из существования конечного предела limx→+∞F(x)=∫+∞af(x)dx следует ограниченность функции F в окрестности U(+∞)={x:x>b} бесконечно удалённой точки +∞. Из непрерывности функции F на сегменте [a,b] следует её ограниченность. Получили, что F ограничена на полуинтервале [a,+∞). Поскольку первообразная функции f это F, то f имеет ограниченную первообразную на [a,+∞).
Для интеграла ∫+∞af(x)[g(x)−c]dx выполнены все условия признака Дирихле, следовательно этот интеграл сходится. В силу сходимости ∫+∞af(x)[g(x)−c]dx, интеграл ∫+∞af(x)g(x)dx сходится, что и требовалось доказать.
Рассмотрим интеграл ∫+∞0sin(x2)dx. Исследуем его на сходимость.
Представим наш интеграл в виде суммы двух интегралов ∫∞0=∫10+∫∞1 и исследуем последний на сходимость. Запишем подынтегральное выражение в следующем виде:
f(x)=xsin(x2), g(x)=1x. Пусть
и применим подстановку z=t2. Тогда
Функция g(x)→0(x→+∞),g′(x)<0, а значит интеграл сходится по признаку Дирихле.
Теперь рассмотрим интеграл ∫+∞1sinx⋅arctgxxp. Проверим его на сходимость.
Пусть f(x)=sinxxp, g(x)=arctg(x). Интеграл ∫∞1f(x)dx сходится по признаку Дирихле, т.к. интегралы |∫x1sin(t)dt|≤2, а 1xp монотонно стремится к 0. Функция g(x)→π2(x→+∞),g′(x)>0. По признаку Абеля интеграл сходится.
- А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин, «Курс математического анализа», физмат-лит, 2001, стр. 377-380
- Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа», том №1, Высшая школа, 1988-1989, стр. 672-676
- Г.М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том №2, стр. 564-565
- Конспект З.М. Лысенко
Навигация (только номера заданий)
0 из 3 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
Информация
Проверьте, как вы усвоили предоставленный материал.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат |
|
Ваш результат |
|
Рубрики
- Математический анализ 0%
- 1
- 2
- 3
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 3
1.
Количество баллов: 10Рубрика: Математический анализКакие интегралы из списка сходятся?
Правильно
Неправильно
-
Задание 2 из 3
2.
Количество баллов: 5Рубрика: Математический анализСходимость какого из интегралов рассматривается в признаках Абеля и Дирихле?
Правильно
Неправильно
-
Задание 3 из 3
3.
Количество баллов: 5Рубрика: Математический анализПризнак Абеля является следствием из
Правильно
Неправильно
— Если формула занимает отдельную строку, то пределы интегрирования нужно ставить над и под знаком интеграла. И в тексте и в тестах.
— Рисунков не обнаружил, а они обязательны.
— Точка в названии
— Вы видите, что в тестах с открытым ответом формулы не отображаются? Не используйте открытый ответ для вопросов, где формулы обязательны.