M1481. О биссектрисах вписанного треугольника

Квант_1Задача из журнала «Квант» (1995 №2)

Условие

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK, D — точка пересечения биссектрисы внешнего угла при вершине B с описанной окружностью. Докажите, что если \angle A> \angle C, то

\sin A / \sin C- \sin \angle CDK/ \sin \angle BDK=1.

Доказательство

Пусть углы A, B, C треугольника равны 2\alpha, 2\beta, 2\gamma соответственно. Биссектриса внутреннего угла B пересекает дугу AC описанной окружности в точке L, диаметрально противоположной D(рис. 1).

Рис. 1

Положим \angle CBD=\delta, \angle BCD=\varepsilon. Используя теорему синусов(для \vartriangle DBK и \vartriangle CDK), теорему о биссектрисе треугольника (BK/KC = AB/AC = \sin 2\gamma / \sin 2\beta) и формулу

2 \sin \varphi \cos\psi = \sin(\varphi + \psi) - \sin(\psi - \varphi),

получаем

\frac{\sin \angle CDK}{\sin \angle BDK} = \frac{KC \sin \varepsilon}{KB \sin \delta} = \frac{ \sin 2\beta \cdot \sin \frac{\pi - 4\gamma - 2\beta}{2}}{\sin 2\gamma \cdot \sin \frac{\pi - 2\beta}{2}} =

\frac{2 \sin \beta \cos \beta \cos(2\gamma + \beta)}{\sin2\gamma \cos \beta} = \frac{\sin(2\beta + 2\gamma)}{\sin2\gamma} - 1 = \frac{\sin2\alpha}{\sin2\gamma} - 1

что и требовалось доказать.

Замечание

Если \angle A< \angle C (как на рисунке 2), то меняется лишь знак в формуле

\sin \varepsilon = \sin(2\gamma + \beta - \pi /2)= - \cos (2\gamma + \beta)

а \sin \delta по-прежнемe равен \sin( \beta + \pi /2) = \cos \beta, так что равенство в условии принимает вид

\frac{\sin A}{\sin C} + \frac{\sin \angle CDK}{\sin \angle BDK} = 1

Рис. 2

Тест 2016

Рабочее тестирование плагина в 2016 году

M1481. О биссектрисах вписанного треугольника: 1 комментарий

  1. Закодируйте правильно тригонометрические функции.
    Разбейте длинную формулу на несколько (после каждого знака равенства).
    Где-то пропущены пробелы.
    Уберите кириллицу из Permalink.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *