Интегралы Эйлера

Интеграл Эйлера-Пуассона показать

Эйлеров интеграл первого рода (бета-функция)

Определение

Эйлеровым интегралом первого рода (бета-функцией) называется функция вида
$$
B(\alpha,\beta)=\overset {1}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha-1}\cdot(1-x)^{\beta-1}\; \; dx.\; \; (1)
$$
График бета-функции можно посмотреть здесь.

Теорема (о свойствах интеграла первого рода)

Бета-функция имеет следующие свойства:

  1. Область определения

    Для сходимости интеграла $(1)$ при $x=0$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее: $\alpha>0$, а для сходимости интеграла при $x=1$ необходимо и достаточно, чтобы $\beta>0$.

  2. Симметричность

    $$
    B(\alpha , \beta )=B(\beta , \alpha ).
    $$

    Доказательство показать
  3. Формула понижения

    При $\alpha >1 $
    $$
    B(\alpha,\beta)=\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -1}\cdot B(\alpha-1,\beta).
    $$

    Доказательство показать
  4. Интегральное представление бета-функции

    Интегральным представлением бета-функции называется функция вида
    $$
    B(\alpha,\beta)= \overset {\infty}{\underset{0}{\int}}\frac{y^{\alpha-1}}{(1+y)^{\alpha +\beta }}\; dy.
    $$

    Доказательство показать

Примеры

  • Пример 1 показать
  • Пример 2 показать
  • Пример 3 показать
  • Пример 4 показать

Тесты на проверку усвоенного материала по бета-функции Эйлера

    Данный тест проверяет на сколько хорошо и внимательно был пройден материал по бета-функции. В тесте присутствуют вопросы как на знание теории, так и на знание практики. Внимательно читайте вопросы, т.к. в тесте присутствуют вопросы, где нужно выбрать несколько вариантов ответов.

Эйлеров интеграл второго рода (гамма-функция)

Определение

$$\Gamma(\alpha )= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}\cdot e^{-x}\; dx.\; (2)$$
Функция, определённая интегралом $(2)$, называется эйлеровым интегралом второго рода (гамма-функция).

График гамма-функции

Графическое изображение интеграла второго рода

Теорема (о свойствах гамма-функции Эйлера)

Гамма-функция имеет следующие свойства:

  1. Область определения

    Для сходимости интеграла $(2)$ в нуле требуется, чтобы выполнялось условие $\alpha > 0$. На бесконечности интеграл $(2)$ сходится при
    любом $\alpha \in R $, так как множитель $e^{-x} $ убывает на бесконечности быстрее любой степени переменной $x $.
    Таким образом, функция $(2)$ определена при $\alpha > 0$.

  2. Формула для производных гамма-функции

    Производная гамма-функции Эйлера определяется формулой
    $$
    \Gamma^{n}(\alpha )= \overset {\infty}{ \underset {0}{\int}}x^{\alpha -1}e^{-x}\ln ^{n}x\; \; dx.\; (3)
    $$

    Доказательство показать
  3. Формула понижения

    Соотношение вида
    $$
    \Gamma(\alpha +1)=\alpha \cdot \Gamma(\alpha )
    $$
    называется формулой понижения для гамма-функции Эйлера.

    Доказательство показать
  4. Формула Эйлера-Гаусса

    Равенство вида
    $$
    \Gamma(\alpha )=\lim_{n \to \infty}n^{\alpha }\cdot \frac{(n-1)!}{\alpha \cdot (\alpha +1)\cdot …(\alpha +n-1)}
    $$
    называется формулой Эйлера-Гаусса.

    Доказательство показать
  5. Связь между бета- и гамма-функцией

    Связь бета- и гамма-функции определяется формулой
    $$
    B(\alpha ,\beta )=\frac{\Gamma(\alpha )\cdot \Gamma(\beta )}{\Gamma(\alpha +\beta )}.
    $$

    Доказательство показать

Примеры

  • Пример 1 показать
  • Пример 2 показать

Тесты на проверку усвоенного материала по гамма-функции Эйлера

    Данный тест проверяет на сколько хорошо и внимательно был пройден материал по гамма-функции. В тесте присутствуют вопросы как на знание теории, так и на знание практики. Внимательно читайте вопросы, т.к. в тесте присутствуют вопросы, где нужно выбрать несколько вариантов ответов.

Литература

Интегралы Эйлера: 2 комментария

  1. Хорошо. Успел пока посмотреть только рисунок. У графика должны быть вертикальные асимптоты с целыми отрицательными координатами по $x$.

  2. Стало лучше. Сразу заметно, какая большая работа была Вами проделана.
    Рисунок довольно грубый вышел, но это уже будут переделывать следующие поколения студентов. Если, конечно, получится.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *