Вычисление радиуса сходимости. Формула Коши — Адамара

Пусть дан степенной ряд вида $\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}z^n$ с радиусом сходимости $R$, где $c_n$,$z^{n}\in \mathbb{C}$. Тогда для этого ряда справедлива следующая теорема:

Теорема о вычислении радиуса сходимости степенного ряда

1. Если существует конечный или бесконечный предел$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_n \right |}$, то $$\frac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_n \right |}. (1)$$
2. Если существует конечный или бесконечный предел $\lim\limits_{n \to\infty} \left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$, то $$R=\lim\limits_{n \to\infty} \left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right | .(2)$$

Доказательство:

1. Докажем формулу (1). Пусть $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_n \right |} = \rho$.
   • Если $0<\rho<+\infty$, и $z_0$ — произвольная точка из круга $K=\left \{z:\left |z\right | < \frac{1}{\rho}\right \}$, то $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \cdot z_{0}^{n} \right |} = \left | z_{0} \right | \cdot \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left |c_{n} \right |} = \left |z_{0} \right | \cdot \rho < 1.$$ По признаку Коши сходимости ряда, ряд сходится в точке $z_{0}$. В силу того, что точка $z_{0}$ — произвольная точка круга $K$, исходный ряд сходится в $K$.
     Предположим, что точка $z_{m}$ не принадлежит кругу $K$, то есть $\left |z_{m} \right | > \frac{1}{\rho}$.Тогда $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \cdot z_{m}^{n} \right |} = \left | z_{m} \right | \cdot \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left |c_{n} \right |} = \left |z_{m} \right | \cdot \rho > 1.$$ По признаку Коши, ряд расходится.
     Значит, ряд сходится в круге $K$, и расходится вне его замыкания. Это значит, что $\frac{1}{\rho}$ — радиус сходимости исходного ряда.
     
     Круг сходимости $K$ c нанесенными точками $z_{0}$ и $z_{m}$

     

     [свернуть]
   • Если $\rho = 0$, то $\forall z \in \mathbb{C}$ выполняется следующее: $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \cdot z^{n} \right |} = \left | z \right | \cdot \rho = 0 .$$ По признаку Коши ряд сходится в точке $z$. В силу произвольности точки $z$ ряд сходится на всей комплексной плоскости. И это значит, что радиус сходимости ряда $R=+\infty$.
   • Пусть $\rho = +\infty$. Тогда $\forall z \neq 0$ $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \cdot z^{n} \right |} = \left | z \right | \cdot \rho = +\infty.$$ По признаку Коши, ряд расходится в точке $z$. Отсюда выходит, что радиус сходимости $R = 0$.
2. Доказательство (2) по сути идентично доказательству (1). Различие в том, что будет использоваться признак Даламбера сходимости ряда. Для этого выполним следующие преобразования: $$R=\lim\limits_{n \to\infty} \left | \frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right | = \frac{\lim\limits_{n \to \infty}\left | c_{n} \right |}{\lim\limits_{n \to \infty}\left | c_{n+1} \right |} = \frac{1}{(\frac{\lim\limits_{n \to \infty}\left | c_{n+1} \right |}{\lim\limits_{n \to \infty}\left | c_{n} \right |})} = \frac{1}{\lim\limits_{n \to\infty} \left | \frac{c_{n+1}}{c_{n}} \right |}.$$
   Пусть $\lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1}}{c_{n}} \right | = \rho$
   • Если $0<\rho<+\infty$, и $z_0$ — произвольная точка из круга $K=\left \{z:\left |z\right | < \frac{1}{\rho}\right \}$, то $z_0$ так же по модулю меньше, чем $\frac{1}{\rho}$. Отсюда следует, что $$\lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1} \cdot z_{0}^{n+1}}{c_{n} \cdot z_{0}^{n}}\right |=\left | z \right | \cdot \lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right |=\left |z \right | \cdot \rho < 1.$$ По признаку Даламбера сходимости ряда, ряд сходится в точке $z_{0}$. В силу того, что точка $z_{0}$ — произвольная точка круга $K$, исходный ряд сходится в $K$.
     Предположим, что точка $z_{m}$ не принадлежит замыканию круга $K$, то есть $\left |z_{m} \right | > \frac{1}{\rho}$. Тогда $$\lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1} \cdot z_{0}^{n+1}}{c_{n} \cdot z_{0}^{n}}\right |=\left | z \right | \cdot \lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right |=\left |z \right | \cdot \rho > 1.$$ По признаку Даламбера, ряд расходится.
     Значит, ряд сходится в круге $K$, и расходится вне него. А это значит, что $\frac{1}{\rho}$ — радиус сходимости исходного ряда.
   • Пусть $\rho = 0$, то $\forall z \in \mathbb{C}$ выполняется следующее: $$\lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1} \cdot z_{0}^{n+1}}{c_{n} \cdot z_{0}^{n}}\right |=\left |z \right | \cdot \rho = 0.$$ По признаку Даламбера, ряд сходится в точке $z$. В силу произвольности $z$ ряд сходится на всей комплексной плоскости. И это значит, что радиус сходимости ряда $R=+\infty$.
   • Пусть $\rho = +\infty$. Тогда $\forall z \neq 0$ $$\lim\limits_{n \to \infty}\left | \frac{c_{n+1} \cdot z_{0}^{n+1}}{c_{n} \cdot z_{0}^{n}}\right |=\left |z \right | \cdot \rho = +\infty.$$ По признаку Даламбера, ряд расходится в точке $z$. Отсюда выходит, что радиус сходимости $R = 0$.

Замечание

Пределы в формулах (1) и (2) могут не существовать. Однако существует универсальная формула для вычисления радиуса сходимости.

Теорема

Радиус сходимости$R$ степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}z^n$ высчитывается по формуле:

$$R = \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \right |}},$$
где $\frac{1}{0}=+\infty$ и $\frac{1}{+\infty}=0.$

Доказательство

Доказательство данной теоремы основано на применении обобщенного признака Коши:

$$\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \cdot z^{n} \right |} = \left | z \right | \cdot \varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left |c_{n} \right |}.$$
Предположим, что ряд сходится в точке $z_{0}$, тогда из обобщенного признака Коши сходимости числового ряда с неотрицательными членами следует, что $\left | z_{0} \right | \cdot \varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left |c_{n} \right |}<1$. Отсюда получаем, что $$\left | z_{0} \right | < \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \right |}}.$$
Пусть ряд расходится в точке $z_{m}$. Тогда $\left | z_{m} \right | \cdot \varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left |c_{n} \right |}>1$. Отсюда $$\left | z_{m} \right | > \frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \right |}}.$$
То есть, если $z$ по модулю меньше чем $\frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \right |}}$, то ряд сходится в данной точке, а если $z$ по модулю больше, то ряд в данной точке расходится. Из определения радиуса сходимости следует, что
$$R=\frac{1}{\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left | c_{n} \right |}}.$$

Список использованной литературы:

• Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2015-2016 гг., 1-ый курс, семестр 2
• Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа. 3-е изд., испр. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 672 с — стр 427-430.
• Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, том 2.- 720 с. — стр. 104-110
• Коляда В.И., Кореновский А.А., Курс лекций по математическому анализу в 2-х частях, часть 2. — Одесса: Астропринт, 2009.- 292с. — стр.56-60.