М1693. О пересекающихся окружностях

Задача о пересекающихся окружностях

Условие
Две окружности пересекаются в точках $Р$ и $Q$.Третья окружность с центром в точке $Р$ пересекает первую в точках $А$, $В$, а вторую – в точках $С$ и $D$ (см.рисунок). Докажите, что углы $\angle AQD$ и $\angle BQC$ равны.
http://ib.mazurok.com/wp-content/uploads/2018/06/1-2.svg
Решение
Треугольники $АРВ$ и $DPC$ равнобедренные. Обозначим углы при их основаниях $\angle АВР = \angle ВАР = \alpha$, $\angle DCP = \angle CDP = \beta$. Четырехугольники $AQBP$ и $DQCP$ вписанные, отсюда $\angle AQP = \angle ABP = \alpha$ и $\angle DQP = \angle DCP = \beta$ . Получаем: $∠AQD = \angle AQP + \angle DQP = \alpha + \beta$ . Далее, $ \angle BQP = \angle BAP = \alpha$, также $ \angle CQP = \beta и \angle BQC = \angle BQP + \angle CQP = \alpha + \beta$ . Значит, $\angle AQD = \angle BQC$.

А.Заславский

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *