Определение

Последовательность $\left \{ x_{n} \right \}$ называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: для каждого $\varepsilon > 0$ существует такое натуральное число $n_{0}$, что для любого $n \geq n_{0}$ и любого $m \geq n_{0}$ справедливо неравенство $\left | x_{n} — x_{m} \right | < \varepsilon$. Кратко это условие можно записать так: $\forall \varepsilon > 0$  $\exists n_{0}\in \mathbb{N} :$ $\forall n, m \geq n_{0} :$ $\left | x_{n} — x_{m} \right | < \varepsilon$.

Дадим эквивалентное определение. Последовательность $\left \{ x_{n} \right \}$ называют фундаментальной, если для каждого $\varepsilon > 0$ существует такое натуральное число $n_{0}$, что для любого $n\geq n_{0}$ и для любого натурального $p$ справедливо неравенство $\left | x_{n+p} — x_{n} \right | < \varepsilon$. Кратко это условие можно записать так: $\forall \varepsilon > 0$  $\exists n_{0} :$ $\forall n\geq n_{0}$ $\forall p\in \mathbb{N} :$ $\left | x_{n+p} — x_{n} \right | < \varepsilon$.

Докажем, что фундаментальная последовательность является ограниченной. Пусть $\varepsilon = 1$, тогда согласно условию Коши найдется номер $n_{0}$ такой, что для всех $n \geq n_{0}$ и для всех $m \geq n_{0}$ выполняется неравенство $\left | x_{n} — x_{m} \right | < 1$, и, в частности, $\left | x_{n} — x_{n_{0}} \right | < 1$. Так как $\left | x_n \right | = \left | (x_{n}-x_{n_{0}}) + x_{n_{0}} \right |$   $\leq \left | x_{n_{0}} \right | + \left | x_{n} — x_{n_{0}} \right |$ $< \left | x_{n_{0}} \right | +1$ для  всех $n \geq n_{0}$, то при всех $n \in \mathbb{N}$ справедливо неравенство $\left | x_{n} \right | \le C$, где $C=\max(\left | x_{1} \right | ,\ldots, \left | x_{n_{0}-1} \right | , \left | x_{n_{0}} \right | +1)$. Это означает, что $\left \{ x_{n} \right \}$ — ограниченная последовательность.

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

Теорема (критерий Коши)

Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Необходимость

Пусть последовательность имеет конечный предел. Положим его равным $a$. По определению предела $\forall \varepsilon > 0$  $\exists n_{0}$ такое, что $\forall k \geq n_{0}$ и выполняется неравенство $\left | x_{k} — a \right | <$ $\frac{\varepsilon}{2}$. Пусть $k=n$, тогда $\left | x_{n} — a \right | < \frac{\varepsilon}{2}$. Пусть $k=m$, тогда $\left | x_{m} — a \right | < \frac{\varepsilon}{2}$. В силу неравенства для модуля суммы (разности), получаем $\left | x_{n}-x_{m} \right |=\left | (x_{n}-a) — (x_{m}-a) \right |$$\leq \left | x_{n}-a \right | + \left | x_{m} — a \right |$ $< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$. Следовательно, для любого $n \geq n_{0}$ и для любого $m \geq n_{0}$ выполняется неравенство $\left | x_{n}-x_{m} \right | < \varepsilon$, т. е. выполняется условие Коши.

Достаточность

Пусть  $\left \{ x_{n} \right \}$- фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. По определению фундаментальной последовательности $\forall \varepsilon > 0$  $\exists n_{\varepsilon} :$ $\forall n \geq n_{\varepsilon}$    $\forall m \geq n_{\varepsilon}$ выполняется неравенство $\left | x_{n} — x_{m} \right | < \frac{\varepsilon}{2}$. Так как фундаментальная последовательность $\left \{ x_{n} \right \}$ является ограниченной, то, по теореме Больцано-Вейерштрасса, она содержит сходящуюся подпоследовательность $\left \{ x_{n_{k}} \right \}$. Пусть ее предел равен $a$, т. е. $\lim\limits_{ k \to \infty} x_{n_{k}} = a$. Покажем, что число $a$ является пределом исходной последовательности $\left \{ x_{n} \right \}$. По определению предела : $\forall \varepsilon > 0$  $\exists k_{\varepsilon} :$ $\forall k \geq k_{\varepsilon}$ $\rightarrow$ $\left | x_{n_{k}} — a \right | < \frac{\varepsilon}{2}$. Пусть $N_{\varepsilon} = \max( n_{\varepsilon}, k_{\varepsilon} )$. Фиксируем  номер $n_{k} \geq N_{\varepsilon}$ (такой номер найдется, так как $n_{k} \to \infty$ при $k \to \infty$ ). Тогда при $m=n_{k}$ и при всех $n \geq N_{\varepsilon}$  выполняется неравенство $\left | x_{n} — x_{n_{k}} \right | < \frac{\varepsilon}{2}$. Из этого следует, что при всех  $n \geq N_{\varepsilon}$ справедливо неравенство: $\left | x_{n}-a \right | = \left | (x_{n}-x_{n_{k}}) + (x_{n_{k}}-a) \right |$ $\leq \left | x_{n}-x_{n_{k}}\right | + \left | x_{n_{k}} — a \right |$ $< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$ т. е. $\lim\limits_{n \to \infty} x_{n} = a$.

Пример

Доказать, что последовательность $x_{n}=1+ \frac{1}{2} +…+\frac{1}{n}$ расходится.

Литература

• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» стр. 57-59.

фундаментальные последовательности

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест на тему «фундаментальные последовательности»:

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 2

   Последовательность $\left \{ x_{n} \right \}$ называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию:

   • $$\exists \varepsilon > 0 \forall n_{0}\in {N} : \exists n, m \geq n_{0} : \left | x_{n} - x_{m} \right | < \varepsilon$$
   • $$\forall \varepsilon > 0 \exists n_{0}\in {N} : \forall n, m \geq n_{0} : \left | x_{n} - x_{m} \right | < \varepsilon$$
   • $$\exists \varepsilon > 0 \forall n_{0}\in {N} : \forall n, m \geq n_{0} : \left | x_{n} - x_{m} \right | < \varepsilon$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 2

   Вставить пропущенное слово:
   Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была … :

   • фундаментальной
   • сходящейся
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 1

   Любая ли фундаментальная последовательность является ограниченной?

   • да
   • нет
   Правильно
   

   Неправильно