Определение предела функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность

Определение предела функции по Коши

Пусть функция $f(x)$ определена в проколотой окрестности $0(x^{0})$ точки $x^{0}$ метрического пространства $X$ . Говорят, что число $A$ есть предел функции $f(x)$ при $x \to x_{0}$ , если $\forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta > 0$ такое, что для $\forall x \in O(x^{0})$ , удовлетворяющего условию $\rho(x, x^{0}) < \delta$ , выполнено неравенство $\left | f(x) — A \right | < \varepsilon$ .

Определение предела функции по Гейне

Говорят, что функция $f(x)$ , определенная в $0(x^{0})$ , имеет при $x \to x_{0}$ предел $A$ , если для любой последовательности $x^{k} \in 0(x^{0})$ такой, что $lim_{k \to \infty}x^{k} = x^{0}$ , выполнено равенство $lim_{k \to \infty}f(x^{k}) = A$ .

Эквивалентность двух определений предела доказывается так же, как и для функций одной переменной.

Пример

Докажем, что $lim_{x \to 0 , y \to 0}(x^{2}+y^{2})^{a}=0$ , если $a>0$ . Возьмем любое $\varepsilon > 0$ . Положим $\delta= \varepsilon^{\frac{1}{2a}}$ . Пусть $(x,y) \in S_{\delta}(0,0)$ , тогда $(x^{2}+y^{2})^{a}<\delta^{2a}<\varepsilon$ , т.е. $lim_{x \to 0 , y \to 0}(x^{2}+y^{2})^{a}=0$ .

Определение предела функции по Коши и по Гейне.

Задание 1 из 5

1.

Количество баллов: 20

Отнесите заданные функции к соответствующему критерию.

Элементы сортировки

$lim_{x \to \infty}(1-x)$
$lim_{x \to 2}x^{2}$

Имеет предел равный

$-\infty$

Имеет предел равный 4

Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 20
Может ли функция иметь два разных предела в одной и той же точке?
- Может
- Не может
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 20
Что означает следующая фраза:

$x$ принадлежит проколотой окрестности точки $a$
- $0<|x-a|<\delta$
- $|F(x)-A|<\varepsilon$
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 20
Определения по Коши и по Гейне…
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 20
Дайте определение предела по Коши.
- $\forall \varepsilon >0$
- $\exists \delta >0$
- $\forall x: 0<|x-a|<\delta$
- $|f(x)-A|<\varepsilon$
Правильно

Неправильно

Литература:

Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа» стр. 232-234.