Определение дифференциалов высших порядков и их свойства

Определение

$k$ -й дифференциал является однородным целым многочленом степени $k$ , или как говорят, является формой $k$ -й степени относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные $k$ -го порядка, умноженные на целочисленные постоянные (полиномиальные коэффициенты).

Объяснение

Пусть в области $D$ задана некоторая функция $u=f\left(x_{1},x_{2},…,x_{n}\right)$ , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Дифференциалом $du$ будем называть следующее выражение:

$du=\frac{\partial u}{\partial x_{1}}dx_{1}+\frac{\partial u}{\partial x_{2}}dx_{2}+…+\frac{\partial u}{\partial x_{n}}dx_{n}$ ,

где $dx_{1},…,dx_{n}$ — произвольные приращения независимых переменных $x_{1},…,x_{n}$ .

Предположим, что существуют непрерывные частные производные второго порядка для $u$ , то есть $du$ будет иметь непрерывные частные производные первого порядка, и можно говорить о дифференциале от этого дифференциала $d\left(du\right)$ , который называется дифференциалом второго порядка, и обозначается символом $d^{2}u$ .

Важно, что приращения $dx_{1},dx_{2},…,dx_{n}$ остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему.

Таким образом, если воспользоваться правилами дифференцирования, будем иметь:

$d^{2}u=d\left(du\right)=d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{1}}dx_{1}+\frac{\partial u}{\partial x_{2}}dx_{2}+…+\frac{\partial u}{\partial x_{n}}dx_{n}\right)$ $=d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{1}}\right)dx_{1}+d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{2}}\right)dx_{2}+…+d\left(\frac{\partial u}{\partial x_{n}}\right)dx_{n}$ .

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка, $d^{3}u$ , и т.д. Вообще, если дифференциал $\left(k-1\right)$ -го порядка, $d^{k-1}u$ , уже определен, то дифференциал $k$ -го порядка можно определить реккурентной формулой :

$d^{k}u=d\left(d^{k-1}u\right)$

Иными словами, если для функции $u$ существуют непрерывные частные производные всех порядков до $k$ -го порядка включительно, то $k$ -й дифференциал существует.

Пример

Спойлер

Рассмотрим вычисление дифференциалов в общем случае(до четвертого порядка):
Если $u=f\left(x,y\right)$ , то

$d^{2}u=\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}dx^{2}+2\frac{\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}dy^{2}$ ,

$d^{3}u=\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}dx^{3}+3\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{2}\partial y}dxdy+3\frac{\partial^{3}u}{\partial x\partial y^{2}}dxdy+\frac{\partial^{3}u}{\partial y^{3}}dy^{3}$ ,

$d^{4}u=\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{4}}dx^{4}+4\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{3}\partial y}dx^{3}dy+6\frac{\partial^{4}u}{\partial x^{2}\partial y^{2}}dx^{2}dy^{2}+4\frac{\partial^{4}u}{\partial x\partial y^{3}}dxdy^{3}+\frac{\partial^{4}u}{\partial y^{4}}dy^{4}$

и т.д.

[свернуть]

Свойства дифференциалов высших порядков

Дифференциал $n$ -го порядка независимой переменной при $n>1$ равен нулю

$d^{n}\left(x\right)=0$

Предположим, что существуют $d^{n}u$ и $d^{n}v$ . Тогда:

$d^{n}\left(Au+Bv\right)=Ad^{n}u+Bd^{n}v$

A, B — константы, следовательно

$d^{n}uv=\sum\limits_{k=1}\limits^{n}C_{n}^{k}d^{k}ud^{n-k}v$

Литература