Функция $f(y)$ дифференцируема в точке ${ y }^{ \circ }$, а значит, по теореме о существовании частных производных найдутся функции ${ { f }_{ j }( }y), j=\overline { 1,m }$ непрерывные в точке ${ y }^{ \circ }$ и такие, что $$f(y)-f({ y }^{ \circ  })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { f }_{ j }(y)({ y }_{ j }-{ y }_{ j }^{ \circ  }), } \quad \quad { f }_{ j }({ y }^{ \circ  })=\frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } } ({ y }^{ \circ  }) \quad \quad\quad \quad(2)$$ Раз функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Используя это и теорему о непрерывности сложной функции, получим что функции: $${ \psi  }_{ j }(x)={ f }_{ j }({ \varphi  }_{ 1 }(x),{ \varphi  }_{ 2 }(x),…{ \varphi  }_{ m }(x)),\quad \quad j=\overline { 1,m }\quad \quad\quad \quad(3)$$

непрерывны в точке ${ x }^{ \circ }$ (т.к функции ${\varphi}_{ i }(x)$ непрерывны, и по теореме указанной выше, их композиция также даст непрерывную функцию) , при этом
$${ \psi  }_{ j }({ x }^{ \circ  })={ f }_{ j }({ y }^{ \circ  })=\frac { \partial f }{ \partial { y }_{ j } } ({ y }^{ \circ  })\quad \quad\quad \quad(4)$$

Подставив в $(2)$ ${ y }_{ 1 }={ \varphi }_{ 1 }(x),…,{ y }_{ m }={ \varphi }_{ m }(x)$ и воспользовавшись $(3)$ получим:

$$T(x)-T({ x }^{ \circ  })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { \psi  }_{ j }(x)({ \varphi  }_{ j }(x)- } ({ \varphi  }_{ j }({ x }^{ \circ  }))\quad \quad\quad \quad(5)$$

Но функции ${ \varphi }_{ j }(x)$ дифференцируемы в точке ${ x }^{ \circ }$ (по условию), поэтому найдутся такие непрерывные в точке ${ x }^{ \circ }$ функции ${ \varphi }_{ ij }(x)$,  что $${ \varphi  }_{ j }(x)-{ \varphi  }_{ j }({ x }^{ \circ  })=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { \varphi  }_{ ij }(x) } ({ x }_{ i }-{ x }_{ i }^{ \circ  }),\quad \quad { \varphi  }_{ ij }({ x }^{ \circ  })=\frac { \partial { \varphi  }_{ j } }{ \partial { x }_{ i } } ({ x }^{ \circ  })\quad \quad\quad \quad(6)$$

$${ i=\overline { 1,n }  }\quad { j=\overline { 1,m }  }$$

Подставляя выражения $(6)$ и $(5)$ получаем

$$T(x)-T({ x }^{ \circ  })=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { T }_{ i }(x)({ x }_{ i }-{ x }_{ i }^{ \circ  }) } \quad \quad { T }_{ i }(x)=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { \varphi  }_{ ij } } (x){ \psi  }_{ j }(x)\quad \quad\quad \quad(7)$$

Так как функции ${ \psi }_{ j }(x)$ и ${ \varphi }_{ ij }(x)$ непрерывны в точке  ${ x }^{ \circ }$, то и ${ T }_{ i }(x)$ непрерывны в этой точке (как композиции непрерывных). А это означает, что сложная функция  ${ T }(x)$ дифференцируема в  ${ x }^{ \circ }$.

Дифференцируемая функция ${ T }(x)$ может быть записан в виде $(1)$ с коэффициентами ${ A }_{ i }$, равными в силу $(6)$ и $(4)$

$${ A }_{ i }={ T }_{ i }({ x }^{ \circ  })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ { \varphi  }_{ ij } } ({ x }^{ \circ  }){ \psi  }_{ j }({ x }^{ \circ  })=\sum _{ j=1 }^{ m }{ \frac { \partial f }{ d{ y }_{ j } } ({ y }^{ \circ  })\frac { \partial { \varphi  }_{ j } }{ d{ x }_{ i } } ({ x }^{ \circ  })=\frac { \partial T }{ \partial { x }_{ i } }  } ({ x }^{ \circ  })$$