Первый замечательный предел

sin x xПервым замечательным пределом называется равенство

 \lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1 ,

где величина x выражена в радианах.

 

 

Спойлер

Воспользуемся неравенством\left(1\right )(рассмотренное в теме Непрерывность элементарных функций).Исходя из непрерывности косинуса \lim_{x \to 0}\cos{x}=\cos{0}=1, переходим в соотношении \left(1\right ) к  пределу при   x \to 0, получаем искомое равенство

[свернуть]

Примеры

Замечание: примеры для данной темы желательно разбирать только после прочтения материала о замене переменной при вычислении предела

Спойлер

Найти предел выражения \lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}

\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3\cdot \frac{1}{7}\cdot 7x}=\frac{7}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{7x}=\frac{7}{3}

Замечание

В последнем равенстве мы использовали тот факт, что \lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{7x}=1

Этот факт доказывается при помощи замены переменной t=7x;t\underset{x\to 0}{\rightarrow}0

[свернуть]
Спойлер

Найти предел выражения \lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}

\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{5x\cdot x}{\sin{\frac{x}{2}}\cdot sin{\frac{x}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{5\cdot 2\cdot 2\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{x}{2}}{\sin{\frac{x}{2}}\cdot \sin{\frac{x}{2}}}=5\cdot 2\cdot 2=20

[свернуть]
Спойлер

Найти предел выражения \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}

Используем тригонометрическую формулу 1-\cos{2a}=2\sin^2{a}

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2{2x}}{5x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2{2x}}{x}=

\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}\cdot \sin{2x}}{\frac{1}{2}\cdot 2x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{5}\lim_{x\to 0}\sin{2x}=\frac{4}{5}\cdot 0=0

[свернуть]

Тест

Тест на использование первого замечательно предела

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 97-98)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 60-62)  

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу (стр 58-60)

Первый замечательный предел: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *