Пример функции, не имеющей первообразной

1. На любом промежутке, не содержащем точку 0, функция $sgn x$ постоянна и равна 1 (или -1). Следовательно, любая ее первообразная имеет вид $F(x)=x+C$ (или $F(x)=-x+C$), где $C$ — некоторое число.
2. Рассмотрим теперь промежуток, содержащий точку 0, например (-1,1). На интервале (-1,0) любая первообразная функции $sgn x$ имеет вид $F_1=-x+C_1$, а на интервале (0,1) любая первообразная функции $sgn x$ имеет вид $F_2(x)=x+C_2$.

При любом выборе постоянных $C_1$ и $C_2$ мы получаем на интервале (-1, 1) функцию, не имеющую производной в точке x=0. Например, если выбрать $C_1=C_2=C$, то получим функцию $F(x)=|x|+C$, недифференцируемую в точке 0. Следовательно, функция $sgn x$ не имеет первообразной на интервале (-1, 1) и вообще на любом промежутке, содержащем точку 0.

Рассмотрим поведение функции в окрестности точки $0$. Как видно $lim_{x\rightarrow -0}\: sign(x)=-1$ и $lim_{x\rightarrow +0}\: sign(x)=1$. По  теореме*  предел функции в точке $0$ не существует.

* Функция $f(x)$ имеет предел в точке $a$ тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке $a$.