Производные и дифференциалы высших порядков

Вторая производная функции в точке x_{0}
Пусть функция f(x) имеет производную во всех точках интервала (a,b). Если f'(x) дифференцируема в точке x_{0}\in (a,b), то ее производную называют производной второго порядка в точке x_{0} и обозначают f''(x_{0}), f^{(2)}(x_{0}), \frac{d^{2}f(x_{0})}{dx^{2}}, f_{xx}^{''}(x_{0}).

Таким образом, по определению
f^{''}(x_{0})=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f'(x_{0}+\Delta x)-f'(x_{0})}{\Delta x}.

    Пример
    Найти f''(x_{0}), если:

  1. f(x)= \sin{x}
    Спойлер

    f'(x)=\cos{x}=\sin{(\frac{\pi }{2}-x)}=\sin{(x+\frac{\pi }{2})}
    f''(x)=-\sin{x}=\sin{(2\tfrac{\pi }{2}+x)}

    [свернуть]
  2. f(x)=x\sqrt{1+x^{2}}
    Спойлер

    f'(x)=\sqrt{1+x^{2}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{1+2x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}};
    f''(x)=(\frac{1+2x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}})'[latex]=\frac{4x\sqrt{1+x^{2}}-(1+2x^{2})x(1+x^{2})^{-\frac{1}{2}}}{1+x^{2}}=\frac{3x+2x^{3}}{(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}};

    [свернуть]

В общем случае производные высших порядков вычисляются по принципу:
f^{(n)}(x)=(f^{(n-1)}(x))'

Т.е. производные более высоких порядков вычисляются через производные более низкого порядка. Если рассматривать пример 1, то можно заметить, что вторая производная была взята как производная производной первого порядка, а производная третьего порядка выглядит так:
f'''(x)=(f''(x))'=(-\sin{x})'=-\cos{x}=\sin{(x+3\frac{\pi }{2})}

Можно заметить некую закономерность в нахождении производных высшего порядка для sinx и вывести общую формулу для этой функции:
f^{(n)}(x)=\sin{(x+n\frac{\pi }{2})}

Существуют функции, которые можно дифференцировать бесконечное количество раз.

Бесконечно дифференцируемая функция
Если функция имеет на [a,b] производные всех порядков, то она называется бесконечно дифференцируемой на [a,b]

Например, к таким функциям можно отнести f(x)=e^{x} т.к. f^{n}(x)=e^{x}

    Производные высших порядков обладают такими свойствами:
    Если f и g имеют производные n-ного порядка, то:

  1. \alpha f+\beta g тоже имеют производные до n-ного порядка включительно и (\alpha f+\beta g)^{(n)}=\alpha f^{(n)}+\beta g^{(n)}.
  2. fg тоже имеют производные до n-ного порядка включительно и
    (fg)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}f^{(k)}g^{(n-k)}(Формула Лейбница)

Замечание! Дифференциалы первого порядка имеют инвариантную форму. Т.е., несмотря на то, будет ли x зависимой или независимой переменной, дифференциал имеет вид
dy=f'(x)dx. Второй дифференциал этим свойством уже не обладает.

Производные и дифференциалы высших порядков

Этот текст составлен для проверки знаний по теме «Производные и дифференциалы высших порядков»

Литература

Производные и дифференциалы высших порядков: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *