Теорема о разности двух первообразных

Дифференцируемые в промежутке \bigtriangleup функции F(x) и G(x) будут в этом промежутке первообразными одной и той же функции f(x) тогда и только тогда, когда разность их значений для любого x\in\bigtriangleup постоянна.

F(x)-G(x)=C=const

Спойлер

Пусть  F(x) — некоторая первообразная функции f(x) в промежутке \bigtriangleup. Следовательно, по определению F'(x)=f(x). Но тогда и функция G(x)=F(x)-C (C=const) также является промежутке первообразной функции f(x) в этом промежутке , поскольку G'(x)=(F(x)-C)'=F'(x)=f(x).

Пусть F(x)-G(x)=H(x). Найдем производную

H'(x)=(F(x)-G(x))'=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0

Но в силу признака постоянства дифференцируемой функции, вытекающего из теоремы Лагранжа, равенство H'(x)=0 означает, что H(x)=F(x)-G(x)=C=const.
Итак, доказана эквивалентность тому, что функция F(x) и G(x) могут быть первообразными лишь одной и той же функции.

[свернуть]