Теорема Ферма о корне производной

Формулировка

Если функция имеет локальный экстремум в точке $x_{0}$ и дифференцируема в этой точке, то $f'(x_{0})=0$

Доказательство

Пусть, например, функция имеет локальный минимум в точке $x_{0}.$ Тогда, по определению локального минимума для всех $x\in(x_{0}-\delta , x_{0}+\delta )$ выполняется неравенство $f(x)-f(x_{0})\geq 0.$
Если $x\in(x_{0}-\delta ,x_{0}) ,$ то $x-x_{0}< 0,$ тогда из условия $f(x)-f(x_{0})\geq 0$ следует, что
$\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0,$
а если $x\in (x_{0},x_{0}+\delta ),$ то выполняется неравенство
$\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geq 0.$
Так как функция f предел при $x\rightarrow x_{0}$ в левой части неравенства $\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0$, равный $f_{-}^{‘}(x_{0})=f'(x_{0}).$ По свойствам пределов из $\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\leq 0$ следует, что
$f'(x_{0})\leq 0.$
Аналогично, переходя к пределу в неравенстве $\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geq 0$ получаем
$f'(x_{0})\geq 0.$
Из неравенств $f'(x_{0})\leq 0$ и $f'(x_{0})\geq 0$ следует, что $f'(x_{0})=0.$

Пример

Функция $f(x)=x^{2}$ имеет на отрезке [-1,1] точку минимума $x_{0}=0.$ Производная функция существует при всех x: $f'(x)=2x.$ В точке минимума производная действительно оказывается равной 0. $f'(x_{0})=f'(0)=0,$ так что утверждение теоремы Ферма выполнено.

Литература

• Конспект лекций Лысенко З.М.
• Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.164-165
• Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140
• www.pm298.ru
• www.bymath.net