Вычисление пути и его длины.

Параметрическое задание:

Дано  \left\{\begin{matrix} y=\varphi (t); \\ x=\psi (t); \end{matrix} \right.

Тогда площадь находится по формуле: S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{(\varphi' (t))^{2}+(\psi' (t))^{2}}dt

Полярное задание:

Дано r=f(\alpha ), где r — расстояние от точки до начала координат, \alpha — угол между радиус-вектором с концом в этой точке и осью OX.

S=\int_{\alpha _{1}}^{\alpha _{2}}\sqrt{((r\cos \alpha )')^{2}+((r\sin \alpha )')^{2}}dt

Пример:

Спойлер

Найдём длину первого витка спирали Архимеда:

r=\alpha \varphi; 0\leq \varphi \leq 2\pi

Запишем формулу длины для этого случая:

L=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{(\alpha \varphi \cos \varphi)'^2+(\alpha \varphi \sin \varphi)'^2}d\varphi

Упрощаем её, раскрываем скобки и вспоминаем о тригонометрической единице:

L=\alpha \int_{0}^{2\pi }\sqrt{1+\varphi ^2}d\varphi

К счастью, этот интеграл — табличный — а, точнее, частный случай табличного (таблицу интегралов, содержащую его, можно найти тут) и равен:

L=\alpha (\pi \sqrt{1+4\pi ^2}+\frac{\ln (2\pi + \sqrt{1+4\pi ^2})}{2})

[свернуть]

Обычное задание:

Дана функция в виде y=f(x).

S=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{1+(y')^{2}}dx

Пример:

Спойлер

Найти длину графика функции y=x^\frac{3}{2} на отрезке [0;4]

Мы получаем интеграл:

L=\int_{0}^{4} \sqrt{1+(y')^2}dx

L=\int_{0}^{4} \sqrt{1+\frac{9}{4}x}dx

Делаем небольшую замену переменной:

q=\frac{9}{4}x+1; dq=\frac{9}{4}dx

L=\frac{4}{9}\int_{0}^{4} \sqrt{1+\frac{9}{4}x}d(1+\frac{9}{4}x)

L=\frac{4}{9}\int_{1}^{10} \sqrt{q}dq

И решаем образовавшийся интеграл:

L=\frac{4}{9}*\frac{2}{3}q^{\frac{3}{2}}|^{10}_{1}

L=\frac{8}{27}*(10\sqrt{10}-1)

[свернуть]

Почему эти формулы верны?

Спойлер

Здесь мы доказываем, что верна формула L'(t)=\sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}.
Затем мы избавляемся от производной длины кривой:

L=\int \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}dt

Затем находим длину кривой между двумя точками:

L=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{(\varphi '(t))^2+(\psi '(t))^2}dt, где t_1 и t_2 — координаты t точек, ограничивающих часть кривой.

И дальше приспосабливаем последнюю формулу под обычный и полярный способы задания функций.

[свернуть]

Источники:

Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 2001 г.,  том 2, стр. 192. Издание 2001 года можно скачать здесь.

Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления», 1964 г.,  том 2, стр. 169. Издание 1964 года можно скачать в меню справа.

Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу», 1997 г., стр. 234-235(примеры задач). Можно также скачать в меню справа.

Автор: Павел Бакалин

Родился я лет 17 назад в одесском роддоме. Спустя 5 лет пошёл в школу, из которой спустя 3 года перешёл в гимназию, из которой через 2 года попал в лицей, в котором продержался 5 лет, и откуда меня вывели в ИМЭМ, где я пока что и учусь (уже почти год)

Вычисление пути и его длины.: 2 комментария

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *