Первая теорема Коши о нулях непрерывной функции

Формулировка:

Если функция непрерывна на сегменте  и на своих концах принимает значение разных знаков, то существует такая точка, принадлежащая этому отрезку, в которой функция обращается в нуль.

Если f \ \in \ C[a,b] и f(a)f(b)<0 , то
\exists c \ \in \ [a,b] : f(c)=0

Спойлер

Разделим отрезок [a,b] пополам и пусть точка \alpha — середина этого отрезка.
Если f(\alpha)=0 , то теорема доказана, если f(\alpha) \neq 0 , то
на концах хотя бы одного из отрезков она принимает значение разных знаков.
\Delta_1=[a_1,b_1] , его длина b_1-a_1 =\frac{b-a}{2}
Пусть точка \alpha_1 середина \Delta_1
Если f(\alpha_1)=0 , то теорема доказана, если f(\alpha_1) \neq 0 , то
на концах хотя бы одного из отрезков она принимает значение разных знаков.
\Delta_2=[a_2,b_2] , его длина b_2-a_2 =\frac{b_1-a_1}{2}
Продолжая этот процесс получим:

Для n-ого отрезке \Delta_n=\frac{b-a}{2^{n}} \rightarrow 0 при n \rightarrow \infty

И \forall n : f(a_n)f(b_n)<0

Так как последовательность стягивающаяся , то по теореме Кантора:

\exists c\ \forall n\ \in \ \mathbb{N} : c \ \in \ \Delta_n

Докажем, что f(c)=0

Докажем от противного
f(c)\neq 0 \Rightarrow f(c)>0 либо f(c)<0 по свойству сохранения знака непрерывной функции
\exists \delta \ \forall x \ \epsilon \ U_\delta(c) \Rightarrow f(x)>0
b_n-a_n \rightarrow 0
\forall \ \varepsilon>0 \ \exists N : \ \forall n \geq N \ |b_n-a_n|< \varepsilon
Для \delta>0 \ \exists n_0>N : b_{n_{0}}-a_{n_{0}}<\delta <2 \delta
Отрезок с номером n_0 будет лежать в этой окрестности \Rightarrow
\forall x \ \epsilon \ U_\delta(c) \Rightarrow \ \forall x \ \epsilon \ \Delta_{n_{0}} : f(x)>0 ,
а это противоречит выбору \Delta_{n_{0}} так как значение на левом и на правом конце отрезка, должны быть разных знаков
\Rightarrow \ f(c)=0

\blacksquare

[свернуть]

Литература:

Тест:

Первая и вторая теоремы Коши

Тест на тему: «Первая и вторая теорема Коши»

Первая теорема Коши о нулях непрерывной функции: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *