Открытые множества
Определение. Множество всех точек xпространства Rn, таких, что |x−x0|<ρ,ρ>0, называется открытым шаром с центром в точке x0 и радиусом ρ. Этот шар также называется ρ-окрестностью точки x0 и обозначается B(x0,ρ).
Определение. Зададим подмножество E пространства Rn. Точка x0 множества E называется внутренней точкой множества, если существует B(x0,ρ), содержащийся в E. Иными словами, x0 является внутренней точкой множества E, если она входит в E вместе с некоторой окрестностью.
Определение. Множество E⊂Rn называется открытым, если любая его точка будет внутренней в E. Условимся также считать пустое множество ∅ открытым.
Свойства открытых множеств
Обозначим через A множество индексов, и каждому элементу α∈A поставим в соответствие множество Eα. Тогда {Eα}α∈A называется семейством множеств
Теорема. Открытые множества в пространстве Rn обладают такими свойствами:
- Пустое множество ∅ и всё пространство Rn открыты;
- Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
- Объединение всякого семейства {Gα}α∈A открытых множеств также открыто
Доказательство.
- Пустое множество ∅ является открытым по определению, а пространство Rn, очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в Rn.
- Пусть E1,…,En – открытые множества,E=⋂ni=1Ei. Предположим, что x∈E. Тогда x∈Ei для любого i=1,…,n. Но все множества Ei являются открытыми, так что для любого i=1,…,n найдется открытый шар B(x,ρi)⊂Ei. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом B(x,ρ), где r=min(ρ1,…,ρn). Тогда E(x,ρ)⊂Ei при каждом i=1,…,n, а значит, B(x,ρ)⊂E, и тем самым доказано, что множество E открыто.
- Пусть E=⋃α∈AEα, где все множества Eα открыты. Докажем, что множество E также открыто. Предположим, что x∈E. Тогда x принадлежит хотя бы одному из множеств Eα0. Так как это множество Eα0 открыто, то найдется окрестность B(x,ρ)⊂Eα0⊂E. Таким образом, E – открытое множество.
Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть Bk – открытый шар с центром в нуле и радиусом 1k(k=1,2,…). Тогда ⋂∞k=1Bk={0}. Но множество {0}, состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.
Литература:
- В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу — Одесса, «Астропринт», 2009. (с.231-233)
- Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 1 1964 г.(с. 348-350)
- Конспект лекций З.М. Лысенко
Открытые множества и их свойства
Тест по теме «Открытые множества и их свойства»
Таблица лучших: Открытые множества и их свойства
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |