Открытые множества и их свойства

Открытые множества

Определение. Множество всех точек $x$пространства $\mathbb{R}^n$, таких, что $| x- x_0| < \rho, \rho > 0$, называется открытым шаром с центром в точке $x_0$ и радиусом $\rho$. Этот шар также называется $\rho$-окрестностью точки $x_0$ и обозначается $B(x_0,\rho)$.

Определение. Зададим подмножество $E$ пространства $\mathbb{R}^n$. Точка $x_0$ множества $E$ называется внутренней точкой множества, если существует $B(x_0,\rho)$, содержащийся в $E$. Иными словами, $x_0$ является внутренней точкой множества $E$, если она входит в $E$ вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество $E \subset \mathbb{R}^n$ называется открытым, если любая его точка будет внутренней в $E$. Условимся также считать пустое множество $\varnothing$ открытым.

Свойства открытых множеств

Обозначим через $A$ множество индексов, и каждому элементу $\alpha \in A$ поставим в соответствие множество $E_{\alpha}$. Тогда $\left\{E_{\alpha}\right\}_{\alpha \in A}$ называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве $\mathbb{R}^n$ обладают такими свойствами:

Пустое множество $\varnothing$ и всё пространство $\mathbb{R}^n$ открыты;
Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
Объединение всякого семейства $\left\{G_{\alpha}\right\}_{\alpha \in A}$ открытых множеств также открыто

Доказательство.

Пустое множество $\varnothing$ является открытым по определению, а пространство $\mathbb{R}^n$, очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в $\mathbb{R}^n$.
Пусть $E_1,…,E_n$ – открытые множества,$E=\bigcap _{ i=1 }^{ n }{E}_{i} $. Предположим, что $x \in E$. Тогда $x \in E_i$ для любого $i=1,…,n$. Но все множества $E_i$ являются открытыми, так что для любого $i=1,…,n$ найдется открытый шар $B(x,\rho_i) \subset E_i$. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом $B(x,\rho)$, где $r=min(\rho_1,…,\rho_n)$. Тогда $E(x,\rho) \subset E_i$ при каждом $i=1,…,n$, а значит, $B(x,\rho) \subset E$, и тем самым доказано, что множество $E$ открыто.
Пусть $E=\bigcup_{\alpha \in A}E_{\alpha}$, где все множества $E_{\alpha}$ открыты. Докажем, что множество $E$ также открыто. Предположим, что $x \in E$. Тогда $x$ принадлежит хотя бы одному из множеств ${E}_{{\alpha}_{0}}$. Так как это множество ${E}_{{\alpha}_{0}}$ открыто, то найдется окрестность $B(x,\rho) \subset {E}_{{\alpha}_{0}} \subset E$. Таким образом, $E$ – открытое множество.$\square$

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть $B_k$ – открытый шар с центром в нуле и радиусом $\frac{1}{k}(k=1,2,…)$. Тогда $\bigcap_{k=1}^{\infty}B_k = \left\{0\right\}$. Но множество $\left\{0\right\}$, состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература: