Processing math: 100%

Заміна змінної в інтегралі Рімана. Приклади.

Опр. Интеграл в смысле Римана. Если функция f(x) определена на [a;b]» и a=x0<x1<x2<<xn=b, то интегралом функции f(x) на сегменте [a,b] называется число baf(x)dx=limmax|xi|0i=0n1f(εi)Δxi,

где xiεixi+1 и Δxi=xi+1xi.

Замена переменной в определённом интеграле (по конспекту). Пусть fC(a0,b0),φC(α0,β0), при чем если t(α0;β0)φ(t)(a0;b0), тогда если α и β (α0;β0), и a=φ(x),b=φ(x)baf(x)dx=βαf(φ(t))φ(t)dt

Доказательство. Так как функция fC(a0;b0)fC[a;b]baf(x)dx=F(b)F(a), где F(x)=f(x), для любого x[a;b]

С другой стороны так как tF[φ(t)]=F(φ(t))φ(t)=f[φ(t)]φ(t)
F[φ(t)]-первообразная для f[φ(t)]φ(t) и тогда по Н-Л βαf[φ(t)]φ(t)dt=F[φ(t)]|βα=F[φ(β)]F[φ(α)]=F(b)F(a)
Пример. Если функция f(x) парная и непрерывная на [a;a], то aaf(x)dx=2a0f(x)dx а если функция f(x) непарная та непрерывная на [a;a], то

aaf(x)dx=0.

Для  доказательства уравнений в обоих случаях нужно разбить интеграл на два

aaf(x)dx=0af(x)dx+a0f(x)dx

и во втором интеграле положить x=t .

Источники:

1) Конспект

2) Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 стр.184

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *