Опр. Интеграл в смысле Римана. Если функция f(x) определена на [a;b]» и a=x0<x1<x2<…<xn=b, то интегралом функции f(x) на сегменте [a,b] называется число ∫baf(x)dx=limmax|xi|→0∑i=0n−1f(εi)Δxi,
где xi≤εi≤xi+1 и Δxi=xi+1−xi.
Замена переменной в определённом интеграле (по конспекту). Пусть f∈C(a0,b0),φ∈C(α0,β0), при чем если t∈(α0;β0)⇒φ(t)∈(a0;b0), тогда если α и β ∈(α0;β0), и a=φ(x),b=φ(x)⇒∫baf(x)dx=∫βαf(φ(t))φ‘(t)dt
Доказательство. Так как функция f∈C(a0;b0)⇒f∈C[a;b]⇒∫baf(x)dx=F(b)−F(a), где F′(x)=f(x), для любого x∈[a;b]
С другой стороны так как ∂∂tF[φ(t)]=F′(φ(t))φ‘(t)=f[φ(t)]φ‘(t)
F[φ(t)]-первообразная для f[φ(t)]φ‘(t) и тогда по Н-Л ⇒∫βαf[φ(t)]φ‘(t)dt=F[φ(t)]|βα=F[φ(β)]−F[φ(α)]=F(b)−F(a)
Пример. Если функция f(x) парная и непрерывная на [−a;a], то ∫a−af(x)dx=2∫a0f(x)dx а если функция f(x) непарная та непрерывная на [−a;a], то
∫a−af(x)dx=0.
Для доказательства уравнений в обоих случаях нужно разбить интеграл на два
∫a−af(x)dx=∫0−af(x)dx+∫a0f(x)dx
и во втором интеграле положить x=−t .
Источники:
1) Конспект
2) Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 стр.184