Опр. Интеграл в смысле Римана. Если функция $latex f(x) $ определена на $latex [a;b]» $ и $latex a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n}=b $, то интегралом функции $latex f(x) $ на сегменте $latex [a,b] $ называется число $latex \huge \int_{a}^{b}f(x)dx=\underset{max|x_{i}|\rightarrow 0}{\lim}\overset{n-1}{\underset{i=0}{\sum }}f(\varepsilon _{i})\Delta x_{i}$,
где $latex x_{i}\leq \varepsilon _{i}\leq x_{i+1} $ и $latex \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i} $.
Замена переменной в определённом интеграле (по конспекту). Пусть $latex f\in C(a_{0},b_{0}),\varphi \in C(\alpha _{0},\beta _{0}) $, при чем если $latex t\in (\alpha _{0};\beta _{0})\Rightarrow \varphi (t)\in (a_{0};b_{0}) $, тогда если $latex \alpha $ и $latex \beta $ $latex \in (\alpha _{0};\beta _{0}) $, и $latex a=\varphi (x),b=\varphi (x) \Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t))\varphi ‘(t)dt $
Доказательство. Так как функция $latex f\in C(a_{0};b_{0})\Rightarrow f\in C[a;b]\Rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) $, где $latex F'(x)=f(x) $, для любого $latex x\in [a;b] $
С другой стороны так как $latex \frac{\partial }{\partial t}{F[\varphi (t)]}=F'(\varphi (t))\varphi ‘(t)=f[\varphi (t)]\varphi ‘(t) $
$latex F[\varphi (t)] $-первообразная для $latex f[\varphi (t)]\varphi ‘(t) $ и тогда по Н-Л $latex \Rightarrow \int_{\alpha }^{\beta }f[\varphi (t)]\varphi ‘(t)dt=F[\varphi (t)]|_{\alpha }^{\beta }=F[\varphi (\beta )]-F[\varphi (\alpha )]=F(b)-F(a) $
Пример. Если функция $latex f(x) $ парная и непрерывная на $latex [-a;a] $, то $latex \int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx $ а если функция $latex f(x) $ непарная та непрерывная на $latex [-a;a] $, то
$latex \int_{-a}^{a}f(x)dx=0. $
Для доказательства уравнений в обоих случаях нужно разбить интеграл на два
$latex \int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{a}f(x)dx $
и во втором интеграле положить $latex x=-t $ .
Источники:
1) Конспект
2) Б.П.Демидович «Сборник Задач и упражнений по математическому анализу» издательство «НАУКА» Москва 1972 стр.184