Примеры приближенного вычисления определенных интегралов по формуле Тейлора

График функции [latex]e^{-2x^{2}}[/latex] имеет следующий вид:

Данная функция непрерывна на отрезке [0;0.3], а значит она интегрируема.

Значение данного определённого интеграла — площадь заштрихованной области графика.

Разложим функцию [latex]e^{-2x^{2}}[/latex] в ряд Маклорена, используя табличное разложение

[latex]e^{\alpha}=[/latex] [latex]1+\frac{\alpha}{1!}+\frac{\alpha^{2}}{2!}+\frac{\alpha^{3}}{3!}+…+\frac{\alpha^{n}}{n!}[/latex]

В данном случае [latex]\alpha=-2x^{2}[/latex](для достижения нужной точности распишем 4 первых члена ряда)

[latex]e^{-2x^{2}}=[/latex] [latex]1+\frac{-2x^{2}}{1!}+\frac{(-2x^{2})^{2}}{2!}+[/latex] [latex]\frac{(-2x^{2})^{3}}{3!}+…[/latex]

Меняем подынтегральное выражение на данный степенной ряд

[latex]\int\limits_{0}^{0.3} (1+\frac{-2x^{2}}{1!}+[/latex] [latex]\frac{(-2x^{2})^{2}}{2!}+\frac{(-2x^{2})^{3}}{3!}+…)dx[/latex]

Упрощаем все слагаемые

[latex]\int\limits_{0}^{0.3} (1-2x^{2}+2x^{4}[/latex] [latex]-\frac{4x^{6}}{3}+…)dx[/latex]

Почленно интегрируем подынтегральное выражение

[latex]\int\limits_{0}^{0.3} e^{-2x^{2}}=[/latex] [latex](x-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{5}-\frac{4x^{7}}{21}+…)\mid_{0}^{0.3}[/latex]

Пользуемся формулой Ньютона-Лейбница

[latex]\int\limits_{0}^{0.3} e^{-2x^{2}}=[/latex] [latex]0.3-2\frac{0.3^{3}}{3}+2\frac{0.5^{5}}{5}-\frac{4*(0.3)^{7}}{21}+…=[/latex] [latex]0.3-0.018+0.000972-…\approx[/latex]

[latex] \approx0.3-0.018=0.282[/latex]

Для достижения точности 0.001 нам хватило взять первые два члена ряда.

Так как интегрирование производится в окрестности точки [latex]x=0[/latex], то можно воспользоваться формулой Маклорена.
Разложение функции

[latex]\cos(x)=[/latex] [latex]1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}[/latex] [latex]+…+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+…=[/latex] [latex]\sum\limits_{n=0}^\infty{(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}[/latex]

Отсюда легко найдём разложение функции [latex]1-\cos(x)[/latex]

[latex]1-\cos(x)=[/latex] [latex]\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}[/latex] [latex]+…+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+…=[/latex] [latex]\sum\limits_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}[/latex]

Теперь представим в виде ряда подынтегральное выражение

[latex]\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}=[/latex] [latex]\frac{{1}}{2!}+\frac{x^{2}}{4!}-\frac{x^{4}}{6!}[/latex][latex]+…+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}+…=[/latex] [latex]\sum\limits_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}}[/latex]

Представим наш интеграл в виде

[latex]\int\limits_{0}^{0.5} \frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx=[/latex] [latex]\int\limits_{0}^{0.5}\sum\limits_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}}dx[/latex]

Далее представим интеграл от суммы членов ряда в виде суммы интегралов членов ряда

[latex]\int\limits_{0}^{0.5}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx=[/latex] [latex]\int\limits_{0}^{0.5}\sum\limits_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}}dx= [/latex] [latex]\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}}\int\limits_{0}^{0.5}x^{2n-2}dx=[/latex]

[latex]=\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}}{\frac{ x^{2n-1}}{(2n-1)}}\mid_{0}^{0.5}=[/latex] [latex]\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}}{\frac{{0.5}^{2n-1}}{(2n-1)}}\approx0.25-0.0017=0.2483[/latex]

Для достижения точности 0.0001 нам хватило взять первые два члена ряда.