Примеры приближенного вычисления определенных интегралов по формуле Тейлора

Интегралы от некоторых функций не могут быть выражены через элементарные функции. Для нахождения таких интегралов применяются различные приближённые методы интегрирования, смысл которых состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию на «близкую» к ней функцию, проинтегрировав которую, мы получим элементарную функцию.

В частности, мы рассмотрим один из таких методов — разложение подынтегральной функции в ряд Тейлора.

Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.

Проиллюстрируем данный метод на примере (вычислим с точностью до 0,001):

1) \int\limits_{0}^{0.3} e^{-2x^{2}}dx

Спойлер

График функции e^{-2x^{2}} имеет следующий вид:

график e^(-2(x^2)

Данная функция непрерывна на отрезке [0;0.3], а значит она интегрируема.

Значение данного определённого интеграла — площадь заштрихованной области графика.

Разложим функцию e^{-2x^{2}} в ряд Маклорена, используя табличное разложение

e^{\alpha}= 1+\frac{\alpha}{1!}+\frac{\alpha^{2}}{2!}+\frac{\alpha^{3}}{3!}+...+\frac{\alpha^{n}}{n!}

В данном случае \alpha=-2x^{2}(для достижения нужной точности распишем 4 первых члена ряда)

e^{-2x^{2}}= 1+\frac{-2x^{2}}{1!}+\frac{(-2x^{2})^{2}}{2!}+ \frac{(-2x^{2})^{3}}{3!}+...

Меняем подынтегральное выражение на данный степенной ряд

\int\limits_{0}^{0.3} (1+\frac{-2x^{2}}{1!}+ \frac{(-2x^{2})^{2}}{2!}+\frac{(-2x^{2})^{3}}{3!}+...)dx

Упрощаем все слагаемые

\int\limits_{0}^{0.3} (1-2x^{2}+2x^{4} -\frac{4x^{6}}{3}+...)dx

Почленно интегрируем подынтегральное выражение

\int\limits_{0}^{0.3} e^{-2x^{2}}= (x-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{5}-\frac{4x^{7}}{21}+...)\mid_{0}^{0.3}

Пользуемся формулой Ньютона-Лейбница

\int\limits_{0}^{0.3} e^{-2x^{2}}= 0.3-2\frac{0.3^{3}}{3}+2\frac{0.5^{5}}{5}-\frac{4*(0.3)^{7}}{21}+...= 0.3-0.018+0.000972-...\approx

 \approx0.3-0.018=0.282

Для достижения точности 0.001 нам хватило взять первые два члена ряда.

[свернуть]

Рассмотрим ещё пример (вычислим с точностью до 0,0001):

2) \int\limits_{0}^{0.5} \frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx

Спойлер

Так как интегрирование производится в окрестности точки x=0, то можно воспользоваться формулой Маклорена.
Разложение функции

\cos(x)= 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!} +...+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+...= \sum\limits_{n=0}^\infty{(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}

Отсюда легко найдём разложение функции 1-\cos(x)

1-\cos(x)= \frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!} +...+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+...= \sum\limits_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}

Теперь представим в виде ряда подынтегральное выражение

\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}= \frac{{1}}{2!}+\frac{x^{2}}{4!}-\frac{x^{4}}{6!}+...+(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}+...= \sum\limits_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}}

Представим наш интеграл в виде

\int\limits_{0}^{0.5} \frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx= \int\limits_{0}^{0.5}\sum\limits_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}}dx

Далее представим интеграл от суммы членов ряда в виде суммы интегралов членов ряда

\int\limits_{0}^{0.5}\frac{1-\cos(x)}{x^{2}}dx= \int\limits_{0}^{0.5}\sum\limits_{n=1}^\infty{(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-2}}{(2n)!}}dx= \sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}}\int\limits_{0}^{0.5}x^{2n-2}dx=

=\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}}{\frac{ x^{2n-1}}{(2n-1)}}\mid_{0}^{0.5}= \sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}}{\frac{{0.5}^{2n-1}}{(2n-1)}}\approx0.25-0.0017=0.2483

Для достижения точности 0.0001 нам хватило взять первые два члена ряда.

[свернуть]

Литература :

Приближённое интегрирование

Данный тест поможет Вам усвоить материал этой записи.

Таблица лучших: Приближённое интегрирование

максимум из 13 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *