Свойства замкнутых множеств

Теорема. Пусть [latex](X,\tau)[/latex] — произвольное топологическое пространство. Тогда  система всех его замкнутых множеств имеет такие свойства:

  1. Множества [latex]X[/latex] и [latex]\varnothing[/latex] будут замкнутыми;
  2. Произвольная система замкнутых множеств в пересечении дает замкнутое множество;
  3. Произвольная конечная система замкнутых множеств в объединении дает замкнутое множество;

Доказательство

  1. Обозначим через [latex](X,\tau)[/latex] произвольное топологическое пространство. В таком случае, [latex]X[/latex] и [latex]\varnothing[/latex] являются замкнутыми множествами (в то же время и открытыми по 3-ей аксиоме топологического пространства), так как [latex]X\setminus\varnothing=X[/latex] — открытое множество и [latex]X\setminus X=\varnothing[/latex] — также открытое множество.
  2. Обозначим через [latex]\left\{ F_{\alpha} \right\}[/latex] систему замкнутых множеств. Следовательно, с учетом того факта, что замкнутое множество есть дополнение открытого, получаем [latex]\bigcap_{\alpha} F_{\alpha} = \bigcap_{\alpha}(X \setminus G_{\alpha}) = X \setminus \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}[/latex], так как. объединение открытых множеств есть множество открытое, а его дополнение — замкнуто, то множество [latex]X \setminus \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}[/latex] замкнуто.
  3. Аналогично попробуем найти объединение конечной системы замкнутых множеств: [latex]\bigcup_{n=1}^{k} F_{n} = \bigcup_{n=1}^{k}(X \setminus G_{n}) = X \setminus \bigcap_{n=1}^{k}G_{n}[/latex] , так как пересечение конечного числа открытых множеств [latex]G_k[/latex] будет открытым множество, то [latex]X \setminus \bigcap_{n=1}^{k}G_{n}[/latex] замкнуто.

Вышеперечисленные свойства систем замкнутых множеств, однозначно их характеризуют, поэтому не исключается подход, при котором эти свойства принимаются за систему аксиом, определяющих топологическое пространства. Следовательно, имеет место следующая
Теорема. Если [latex]X[/latex] — произвольное множество и [latex]\lambda[/latex] семейство его подмножеств, обладающее следующими свойствами:

  1. [latex] X, \varnothing \in \lambda [/latex]
  2. Пересечение множеств любой подсистемы в [latex]\lambda[/latex] принадлежит [latex]\lambda[/latex]
  3. Объединение множеств любой конечной подсистемы в [latex]\lambda[/latex] принадлежит [latex]\lambda[/latex]

Предположим, что [latex]\upsilon[/latex] — семейство дополнений всех различных множеств из [latex]\lambda[/latex]. В таком случае [latex]\upsilon[/latex] будет топологией на [latex]X[/latex], а [latex]\lambda[/latex] — системой замкнутых множеств топологического пространства [latex](X,\upsilon)[/latex].

Литература:

Свойства замкнутых множеств

Тест по теме «Свойства замкнутых множеств»

Таблица лучших: Свойства замкнутых множеств

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных
/a. Тогда 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *