Предположим, что числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 — корни уравнения $f(g(h(x)))=0$.

Если прямая $x=a$ — ось параболы, задаваемой уравнением $y=h(x)$, то $h(x_{1})=h(x_{2})$ тогда и только тогда, когда $x_{1}+x_{2}=2a$.

Многочлен $f(g(x))$ имеет не более четырех корней, но числа $h(1), h(2),…, h(8)$ являются его корнями, следовательно, $a=4.5$ и $h(4)=h(5),h(3)=h(6),h(2)=h(7),h(1)=h(8)$. Кроме того, мы попутно доказали, что числа $h(1),h(2),h(3),h(4)$ образуют монотонную последовательность. Аналогично, рассматривая трехчлен $f(x)$ и его корни $g(h(1)), g(h(2)), g(h(3)), g(h(4))$, получаем, что $h(1)+h(4)=2b, h(2)+h(3)=2b$, где прямая $x=b$ — ось параболы, задаваемой уравнением $y=g(x)$. Но из уравнения $h(1)+h(4)=h(2)+h(3)$ для $h(x)=Ax^{2}+Bx+C$ следует, что $A=0$. Противоречие.

Ответ: уравнение $f(g(h(x)))=0$ не может иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8.