Доказательство

Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC, P$- точка пересечения высот тетраэдра, $AA_{1}$ — высота тетраэдра из вершины $A$.

$MA_{2}||A_{3}A_{1}$ и $AA_{2}:A_{2}A_{1}=2:1$.

Угол $MA_{2}P$ — прямой, так что точка $A_{2}$ лежит на сфере с диаметром $MP$. Аналогично рассматриваются остальные случаи.