Понятие абстрактного линейного пространства. Простейшие следствия из аксиом

Определение

Пусть X\neq \varnothing, \mathbb Pполе. \left(X,\mathbb P \right) называется абстрактным линейным пространством, если выполняются следующие три группы аксиом:

  1. На X задана БАО (бинарная алгебраическая операция) «+», относительно которой \left(X,+ \right)абелева группа.
  2. Задано отображение: \bullet:\mathbb P \times X \rightarrow X такое, что:
    • 1 \cdot x=\(\ \)x, \forall x\in X,
    • \alpha \left(\beta x \right)=\(\ \)\left(\alpha\beta \right)x,\(\ \) \forall x\in X,\(\ \) \forall \alpha, \beta \in \mathbb P.
    • \alpha\left(x_{1}+x_{2} \right)=\(\ \)\alpha x_{1} + \alpha x_{2}, \(\ \)\forall \alpha \in \mathbb P,\(\ \) \forall x_{1}, x_{2} \in X,
    • \left(\alpha + \beta \right)x=\(\ \)\alpha x + \beta x,\(\ \) \mathcal{8} \alpha , \beta \in \mathbb P, \(\ \)\mathcal{8} x \in X.

Элементы поля \mathbb P называются скалярными, а множество X называется носителем векторов.

Следствия из аксиом

  1. \alpha \cdot 0=0, \forall \alpha \in \mathbb P
    Спойлер

    \alpha \cdot 0=\(\ \)\alpha \left(0 + 0 \right)=\(\ \)\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \mid + \left(-\alpha \cdot 0 \right)
    \alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)=\(\ \)\left(\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \right) + \left(-\alpha \cdot 0 \right)
    0=\(\ \)\alpha \cdot 0 + \left(\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)\right)=\(\ \)\alpha \cdot 0

    [свернуть]
  2. 0 \cdot x=0, \forall x \in X
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 1.

    [свернуть]
  3. \left(-\alpha \right)x=\(\ \)-\left(\alpha x \right), \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X
    Спойлер

    \left(-\alpha \right)x + \alpha x=\(\ \)\left(\left(-\alpha \right) + \alpha\right)x=\(\ \)0 \cdot x=\(\ \)0 \Rightarrow \left(-\alpha \right)x=\(\ \)-\left(\alpha x \right)

    [свернуть]
  4. \left(-1 \right)x=-x, \forall x \in X
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 3.

    [свернуть]
  5. \left(\alpha - \beta \right)x=\(\ \)\alpha x - \beta x, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x \in X
    Спойлер

    \left(\alpha + \left( -\beta\right)\right)x=\(\ \)\alpha x + \left(-\beta x\right)=\(\ \)\alpha x + \left(-\beta \right)x=\(\ \)\alpha x - \beta x

    [свернуть]
  6. \alpha \left(x - y \right)=\(\ \)\alpha x - \alpha y, \forall x,y \in X, \forall \alpha \in \mathbb P
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 5.

    [свернуть]
  7. \alpha x=\(\ \)0 \Leftrightarrow \alpha =\(\ \)0 \vee x=\(\ \)0, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X
    Спойлер

    \alpha x=\(\ \)0 \Rightarrow Пусть \alpha \neq 0
    x=\(\ \)1 \cdot x=\(\ \)\left(\frac{1}{\alpha}\alpha \right)x=\(\ \)\frac{1}{\alpha}\left(\alpha x \right)=\(\ \)\frac{1}{\alpha}\cdot 0=\(\ \)0

    [свернуть]
  8. \alpha x=\(\ \)\alpha y \wedge \alpha \neq 0 \Rightarrow x=\(\ \)y, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x,y \in X
    Спойлер

    \alpha x=\(\ \)\alpha y \Rightarrow \alpha x - \alpha y=0 \Rightarrow \alpha \left(x - y \right)=\(\ \)0 \Rightarrow x - y=\(\ \)0 \Rightarrow x=y

    [свернуть]
  9. \alpha x=\(\ \)\beta y \wedge x \neq y \Rightarrow \alpha =\(\ \) \beta, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x,y \in X
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 8.

    [свернуть]

Примеры:

  1. Пространства направленных отрезков, в частности, V_{1}, V_{2}, V_{3}
  2. \left(X, \mathbb P \right), X = M_{m\times n}\left(\mathbb P \right)
  3. \left(X, \mathbb P \right),X = \mathbb P \left[x \right]
  4. \left(X, \mathbb R \right), X = C_{\left[-1;1 \right]}
  5. \left(\mathbb C, \mathbb R \right), X=\mathbb C, \mathbb P=\mathbb R
  6. \left(\mathbb P, \mathbb P \right), X=\mathbb P, \mathbb P=\mathbb P

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 11-13
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 301

Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *