Теоретический материал, который понадобится для решения задач по данной теме:
Определение 1
Скалярное произведение двух векторов, отличных от нуля $\, \bar{a}$ и $\bar{b}$, — число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначается: $ (\bar{a} , \bar{b}) = |\bar{a}| \cdot |\bar{b}| \cdot \cos{\widehat{(a,b)}} $
Найти скалярное произведение векторов [latex](c,d)[/latex]
[latex] \bar{c}=-2\bar{a} + \bar{b} \ [/latex], $\quad$ [latex] \bar{d}= \bar{a}-\bar{b} [/latex],
если [latex] |\bar{a}|=4\sqrt{2} [/latex], $\quad$ [latex]|\bar{b}|=8[/latex], $\quad$ [latex]\widehat{(a,b)} = \frac{\pi}{4}[/latex]
Решение:
[latex](\bar{c} , \bar{d})=(-2\bar{a} + \bar{b})(\bar{a} — \bar{b})=[/latex]
[latex]-2\bar{a} \cdot \bar{a} + \bar{b} \cdot \bar{a} + 2\bar{a} \cdot \bar{b} — \bar{b} \cdot \bar{b} = [/latex]
[latex]=-2\bar{a}^{2} + 3\bar{a} \cdot \bar{b} — \bar{b}^{2} =[/latex]
[latex] = -2\bar|{a}|^{2} + 3|\bar{a}| \cdot |\bar{b}| \cdot \cos{\widehat{(a,b)}} — |\bar{b}|^{2} = [/latex]
[latex]=-2 \cdot (4\sqrt{2})^{2} + 3 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \cos\frac{\pi}{4} — 8^{2} = [/latex]
[latex]=-64 + 96\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — 64 = -32 [/latex]
Определение 2
Векторным произведением вектора $ \bar{a} $ на вектор $ \bar{b} $
называется такой вектор $ \bar{c} $, удовлетворяющий следующим условиям:
- $ \bar{c} \perp \bar{a} $, $ \bar{c} \perp \bar{b} $
- тройка $ < \bar{a} $ ,$ \bar{b} $, $ \bar{c} > $ — правая (некомпланарная тройка векторов называется правой, если векторы в ней можно представить, как располагаются большой, указательный и средний пальцы правой руки)
- $ |\bar{c}| = |\bar{a}| \cdot |\bar{b}| \cdot \sin {\widehat{(a,b)}} $
Обозначается:$ \, \bar{c} = \left[\bar{a}, \bar{b} \right]$
Геометрический смысл векторного произведения заключается в том, что модуль векторного произведения$\quad$ $ |\bar{c}| = |\left[\bar{a}, \bar{b} \right]|$ $\quad$ равен площади параллелограмма, построенного на векторах $\bar{a}$ и $\ \bar{b}$.
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах $\bar{a}$ и $\bar{b}$
$\bar{a}=(\sqrt{2},2,\sqrt{3})$, $\bar{b}=(1,1,\sqrt{2})$, $\widehat{(\bar{a},\bar{b})} = \frac{\pi}{6}$
Решение:
Используя упомянутое свойство о том, что площадь параллелограмма, построенного на двух векторах равна модулю их векторного произведения получим:
$S_{параллелограмма} \,= \,[\bar{a} \cdot \bar{b}]$ $=|\bar{a}| \cdot |\bar{b}| \cdot sin{\widehat{(\bar{a},\bar{b})}}$
Найдем модули данных векторов:
$|\bar{a}|=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+2^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=3$
$|\bar{b}|=\sqrt{(1^{2}+1^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=2$
$S_{параллелограмма} \,=3 \cdot 2 \cdot sin{\frac{\pi}{6}}=3$
Определение 3
Смешанным произведением векторов $ (\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) $ называется скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий.
Обозначается: $(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} ) = $ $ ([\bar{a}, \bar{b}], \bar{c} )$
Формула, по которой вычисляется смешанное произведение правой тройки векторов:
$ \bar{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}), \, \bar{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}), \, \bar{c}=(c_{1},c_{2},c_{3}) \, $,
заданных в ортонормированном базисе $ \, \bar{i},\bar{j},\bar{k}$ :
$ (\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} )=\begin{vmatrix}
a_{1}& a_{2}&a_{3} \\
b_{1} &b_{2} &b_{3} \\
c_{1}&c_{2} & c_{3}
\end{vmatrix} $ $\quad$ (1)
Геометрический смысл смешанного произведения заключается в том, что смешанное произведение векторов равно численному значению объема параллелепипеда, образованного на этих векторах, со знаком «-» если тройка $ \bar{a}, \bar{b}, \bar{c} $ левая и со знаком «+» если тройка правая.
Найти объем параллелепипеда построенного тройке векторов
$ < \bar{a} $ ,$ \bar{b} $, $ \bar{c} > $, если $\,\bar{a}=(2,-2,4) $, $ \, \bar{b}=(0,8,6)$, $ \, \bar{b}=(6,4,-12)$:
Решение:
Как было упомянуто выше, для того, чтобы найти объем параллелепипеда, построенного на тройке векторов нужно найти смешанное произведение этих векторов.
Воспользуемся формулой (1):
$ (\bar{a}, \bar{b}, \bar{c} )=\begin{vmatrix}
2& -2 & 4 \\
0& 8 & 6 \\
6& 4 & -12
\end{vmatrix} =$
Раcскроем определитель по первому столбцу:
$=\begin{vmatrix}
8 & 6 \\
4 & -12
\end{vmatrix} +$ $3 \cdot \begin{vmatrix}
-2 & 4 \\
8 & 6 \\
\end{vmatrix} =$ $(-96-24)+3(-12-32)=-63$
$ V_{пар-да}=|-63|=63$
Литература:
- Курс лекций по линейной алгебре. Г.С. Белозеров
- В.В. Воеводин Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, стр. 108-111, 85-87
- О.Н.Цубербиллер Задачи и упражнений по аналитической геометрии. СПб.: Лань, 2003. стр.208-217
Решение задач на все виды произведений направленных отрезков.
Таблица лучших: Решение задач на все виды произведений направленных отрезков. Простейшие задачи аналитической геометрии
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||