Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме. Сопряженность

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Спойлер

Комплексным числом z называется число вида z=a+bi, где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица. Число a называется действительной частью (Rez) комплексного числа, число b называется мнимой частью (Imz) комплексного числа.

[свернуть]

Сложение

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
Тогда z= z_1 + z_2 получается простым приведением подобных:
z_1 + z_2= z_1 + z_2= a_1+b_1i+a_2+b_2i= (a_1+a_2)+(b_1+b_2)i

Спойлер

z_1=3+2i и z_2=1+4i
z_1 + z_2= 3+2i + 1+4i= (3+1)+(2+4)i= 4+6i

[свернуть]

Вычитание

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
Тогда z= z_1 - z_2 получается аналогично со сложением:
a_1+b_1i - (a_2+b_2i)= (a_1-a_2)+(b_1-b_2)i

Спойлер

z_1=6+i и z_2=5+2i
z_1 - z_2= 6+i - (5+2i)= (6-5)+(1-2)i= 1-i

[свернуть]

Умножение

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
Тогда z= z_1 \times z_2= (a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i).
Что делать на этом шаге? Все довольно просто, как Вы наверно и подумали, надо всего лишь раскрыть скобки и привести подобные:
(a_1+b_1i) \times (a_2+b_2i)= (a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i

Спойлер

z_1=2+i и z_2=3+2i
z_1 - z_2= (2+i)(3+2i)= (6 - 2)+(4+3)i= 4+7i

[свернуть]

Определение комплексно сопряженного числа

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
z_1 называют комплексно сопряженным к z_2, если a_1 = a_2 и b_1 = -b_2, т.е. z_1=a_1+b_1i и z_2=a_1-b_1i.
И при перемножении z_1 \times z_2= {a_1}^2-{b_1}^2
Это потребуется для нашего следующего действия.

Деление

Пусть z_1,z_2\in C, z_1=a_1+b_1i и z_2=a_2+b_2i.
Тогда z= \frac{z_1}{z_2}= \frac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i}
На этом шаге обычно все и остановилось бы, но мы сможем еще упростить выражение благодаря знанию комплексно сопряженных чисел. Умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное число к знаменателю, получим:
\frac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)}= \frac{(a_1a_2+b_1b_2)+(a_2b_1-a_1b_2)i}{{a_2}^2+{b_2}^2}

Спойлер

z_1=3+i и z_2=3+2i
\frac{z_1}{z_2}= \frac{3+i}{3+2i}= \frac{(3+i)(3-2i)}{9+4}= \frac{9+2-6i+3i}{13}= \frac{11-3i}{13}

[свернуть]

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Спойлер

Перед дальнейшим прочтением материала просмотрите информацию о тригонометрической форме комплексного числа
svg111
Любое комплексное число z можно представить в виде:|z|(\cos\phi+ i\sin\phi), где |z| — это модуль комплексного числа, а \phi=arg z — это аргумент комплексного числа. |z|=\sqrt{a^2+b^2}

[свернуть]

Умножение

Произведением двух комплексных чисел z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1) и z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2) будет комплексное число вида z=z_1z_2=r_1r_2(\cos(\phi_1+\phi_2)+i\sin(\phi_1+\phi_2)

Спойлер

z_1=3(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}) и z_1=2(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})
z_1 \times z_2= 3(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}) \times 2(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})= 6(\cos\frac{7\pi}{6}+i\sin\frac{7\pi}{6})

[свернуть]

Деление

Частным двух комплексных чисел z_1=r_1(cos\phi_1+isin\phi_1) и z_2=r_2(cos\phi_2+isin\phi_2) будет комплексное число вида z=z_1z_2=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1-\phi_2)+i\sin(\phi_1-\phi_2)

Возведение в степень

\forall z \in C z^n= {r(\cos\phi+i\sin\phi)}^n= r^n(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))

Спойлер

z=3\sqrt{3}(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})
z^10= {3\sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})}^10= {27}^5{(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3})}^10= {27}^5(\cos\frac{10\pi}{3}+i\sin\frac{10\pi}{3})= {27}^5(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3})=

[свернуть]

Извлечение корня

\forall z \in C \sqrt[n]{z}= \sqrt[n]{r(\cos\phi+i\sin\phi)}= \sqrt[n]{r}(\cos\frac{\phi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\phi+2\pi k}{n}), k=\overline{0,n-1}

Спойлер

z=8(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})
\sqrt[3]{8(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})}= 2\sqrt[3]{(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})}= 2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi k}{n}), k=\{0,1,2\}
2(\cos\frac{2\pi}{9}+i\sin\frac{2\pi}{9}) — это первый корень.
2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+2\pi}{3})= 2(\cos\frac{8\pi}{9}+i\sin\frac{8\pi}{9}) — это второй корень
2(\cos\frac{\frac{2\pi}{3}+4\pi}{3}+i\sin\frac{\frac{2\pi}{3}+4\pi}{3})= 2(\cos\frac{14\pi}{9}+i\sin\frac{14\pi}{9}) — это третий корень

[свернуть]

Тест поможет Вам проверить, как Вы усвоили материал

Литература

  1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968,cтр 115-123
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, стр 194-210

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *