Изоморфизм линейных пространств. Критерий изоморфности. Применение понятия изоморфизма к решению задач.

Спойлер

Изоморфизм линейных пространств, свойства

Дано два конечномерных линейных пространства  (X_1, \mathbb{P}) и  (X_2, \mathbb{P}), заданных над одним полем  \mathbb{P}(любое числовое поле)
 X_1 \simeq X_2 (изоморфны), если:

  1.  \exists f: X_1 \to X_2 (т.е. \forall a\in X_1 сопоставляется вектор  a`\in X`, образ вектора a, причём различные векторы из  X обладают различными образами и всякий вектор из  X` служит образом некоторого вектора из  X).
  2.  f(\alpha a+\beta b) = \alpha f(a) + \beta f(b),  \forall a,b \in X_1,  \forall \alpha, \beta \in P.

Свойства изоморфизма:

  1.  f(0)= 0;
  2.  f(-x)= f(x);
  3.  f(\sum\limits_{j=1}^k \alpha_je_j)= \sum\limits_{j=1}^k \alpha_j f(e_j);
  4. ЛНЗ  \to^f ЛНЗ;
  5. ЛЗ  \to^f ЛЗ;
  6. Базис отображается в базис;
  7. dim  X_1= dim X_2;
  8. Прямая сумма  \to прямая сумма.

Критерий изоморфности:

 X_1 \simeq X_2 \Leftrightarrow dim  X_1 = dim X_2.

[свернуть]

ПРИМЕР

Любой геометрический радиус-вектор плоскости, представим в виде:
 x = ix_1 + jx_2
svg111
При этом, если  x = ix_1 + jx_2,  y = iy_1 + jy_2, то
 x + y = (x_1 + y_1)i +(x_2 + y_2)j и  \alpha x = (\alpha x_1)i + (\alpha x_2)j.
В результате устанавливаем взаимно однозначное соответствие  x \Leftrightarrow (x_1, x_2), соответствие между пространствами геометрических радиусов-векторов плоскости и двумерных арифметических векторов. Очевидно, оно будет изоморфизмом данных пространств, так как
если  x \Leftrightarrow (x_1, x_2),  y \Leftrightarrow (y_1, y_2), то  x + y \Leftrightarrow (x_1 + y_1, x_2 + y_2) и  \alpha x \Leftrightarrow ( \alpha x_1, \alpha x_2 ).

Задача

Даны пространства  A = \mathbb{R} и  B = \mathbb{R}. Установить между ними соответствие, которое:

  1. будет являться изоморфизмом;
  2. не будет являться изоморфизмом.

Решение

  1. Первое, что мы делаем, это каждому числу  a \in \mathbb{R} ставим в соответсвие число  b \in \mathbb{R}, придерживаясь правила:  b= 2a. Каждое  b \in \mathbb{R} будет отвечать единственному числу  a= \frac{1}{2}b. Отсюда следует, что утверждение  b= 2a устанавливает взаимно однозначное соответствие  \mathbb{R} \Leftrightarrow \mathbb{R}. Если  a_1 \Leftrightarrow b_1 и  a_2 \Leftrightarrow b_2, т.е.  b_1 = 2a_1 и  b_2= 2a_2 то  (a_1+a_2) \Leftrightarrow (b_1+b_2), так как  b_1+b_2= 2a_1+2a_2 = 2(a_1+a_2). Если  a \Leftrightarrow b, т.е.  b= 2a, то  \lambda a \Leftrightarrow \lambda b для каждого действительного числа  \lambda , так как  \lambda b= \lambda 2a= 2 \lambda a. Как результат, в данном соответствии  b= 2a сохраняются линейные операции, и оно является изоморфизмом.
  2. Следующее взаимно однозначное соответствие, которое будем рассматривать  \mathbb{R} \Leftrightarrow \mathbb{R}, устанавливается формулой  b= a^3 (число сопоставляемое числу  a= \sqrt[3]{b}). Данное соответствие не будет являться изоморфизмом, потому что будет сохранять линейные операции. Как пример, если  a \Leftrightarrow b, т.е.  b= a^3, то {(2a)}^3= 8a^3= 8b. Значит,  2a \Leftrightarrow 8b, возникает противоречие условию  \lambda a \Leftrightarrow \lambda b для  \lambda = 2 .

Задача

Проверить, являются ли изоморфными пространства:
 X_1= \{ f(x) \in R[x] | f(x) \quad\vdots\quad (x^2+1) \} и  X_2, натянутое на систему векторов  <a_1, a_2, a_3>. a_1=(0,0,1,0,1),  a_2=(0,1,0,1,0) и  a_3=(1,0,1,0,0).

Решение

Найдем базис  X_1
 \forall f(x) \in X_1 \Leftrightarrow f(x)= (x^2+1)(ax^2+bx+c)= ax^4+bx^3+ax^2+cx^2+bx+c= a(x^4+x^2)+b(x^3+x)+c(x^2+1), таким образом <x^4+x^2,x^3+x,x^2+1> — базис.
Очевидно, что система  <a_1,a_2,a_3>, на которую натянуто  X_2 ЛНЗ (линейно независимая система), dim  X_1 = dim  X_2= 3. Следовательно по критерию изоморфности  X_1 \simeq X_2.

Источники

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. Издание пятое, 1974.Стр. 170

Изоморфизм линейных пространств

Тест по теме: «Изоморфизм линейных пространств. Критерий изоморфности»

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *