Вычисление площадей и объемов

Задача 1

Пирамида $ ABCD$ задана координатами своих вершин: $ A(4,-1,~0)$, $ B(2,~3,~4)$, C(-1,~4,~1), $D(4,-3,~5) $. Найти:

  • объем пирамиды;
  • площадь грани ABC .


Спойлер

Найдем координаты векторов:

\overline{AB}=(x_B-x_A,~y_B-y_A,~z_B-z_A) = (2-4,~3-(-1),~4-0) = (-2, ~4, ~4) .
\overline{AC}=(x_C-x_A,~y_C-y_A,~z_C-z_A) = (-1-4,~4-(-1),~1-0) = (-5,-3, ~1) .
\overline{AD}=(x_D-x_A,~y_D-y_A,~z_D-z_A) = (4-4,-3-(-1),~5-0) = (0,-2, ~5) .

Вычислим смешанное произведение:

(\overline{AB},~\overline{AC},~\overline{AD}) = \begin{vmatrix} -2 & 4 & 4 \\ -5 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} = -2(-15+2)+5(20+8) = 166 .

Найдем объем пирамиды по формуле:

V_{ABCD} = \frac{1}{6} |(\overline{AB},Ё\overline{AC}, \overline{AD})| = \frac{1}{6} \cdot 166 = \frac{166}{6} \approx 27,7 (куб.ед.).

Найдем векторное произведение:

[\overline{AB},\overline{AC}] = \begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ -2 & 4 & 4 \\ -5 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \overline{i} \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} -\overline{j} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -5 & 1 \end{vmatrix} + \overline{k} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -5 & -3 \end{vmatrix} = \overline{i}(4+12) - \overline{j}(-2+20) + \overline{k}(6+20) = 16 \overline{i} - 18 \overline{j} + 26\overline{k} = (16,-18,~26) .

Найдем площадь плоскости \mathbf{(ABC)} :

S_{(ABC)} = \frac{1}{2} |[\overline{AB},~\overline{AC}]| = \frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16^2+(-18)^2+26^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1256} \approx \frac{1}{2} \cdot 35,4 = 17,7 .

Ответ: \mathbf{27,7} куб.ед., \mathbf{17,7} .

[свернуть]

Задача 2

 

Найти объем пирамиды, у которой три грани принадлежат плоскостям XOY,~XOZ,~YOZ , четвертая проходит через плоскость P=4x+6y+3z-12=0 , и имеет вершину в точке O(0,~0,~0) .

Спойлер

Найдем точки пересечения плоскости \mathbf{P} с осями координат.

Это точки A(3,~0,~0), B(0,~2,~0) и C(0,~0,~4) .

Найдем векторы \mathbf{\overline{AB}} и \mathbf{\overline{AC}} .

\overline{AB} = (-3,~2,~0) ;
\overline{AC} = (-3,~0,~4) .

Найдем площадь основания:

S_{(ABC)}=\frac{1}{2} |[\overline{AB},\overline{AC}]| = \frac{1}{2} \sqrt{\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 4 & -3 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}^2} = \frac{1}{2} \sqrt{8^2+12^2+6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16+144+36} = \sqrt{61} .

Найдем расстояние от точки \mathbf{O} до плоскости \mathbf{P} :

\rho(O,~P) = \frac{|Ax_O+By_O+Cy_O+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{12}{\sqrt{16+36+9}} = \frac{12}{\sqrt{61}} .

Расстояние от точки O до плоскости P является высотой h пирамиды, опущенной из ее вершины на основание.

Найдем объем пирамиды:

V=\frac{1}{3} S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{61} \cdot \frac{12}{\sqrt{61}} = 4 .

Ответ: \mathbf{4} .

[свернуть]

Список использованной литературы:

О.Н.Цубербиллер «Задачи и упражнения по аналитической геометрии», Санкт-Петербург, 2003г., изд-во «Лань», стр.214

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *