Подструктуры

Подгруппа

Пусть H\neq\varnothing. Множество H является подгруппой группы G, если само H является группой относительно сужения операции, определённой на G.

Критерий подгруппы

Пусть G — группа.  H\in G. H\neq\varnothing
Тогда H является подгруппой G \Leftrightarrow \forall a,b\in H ab^{-1}\in H ((a-b)\in H)., где b^{-1} — элемент, обратный к b.

Задача

Проверить, являеется ли группа (mZ,+) (m\geq 1) подгруппой группы (Z, +), где Z — множество целых чисел.

Спойлер

То, что (mZ,+) — группа, легко доказывается по определению.
Рассмотрим любые два элемента, принадлежищие множеству mZ.
\forall a,b\in mZ a=ma_1, b=mb_1 a,b,m\in Z
a-b=ma_1-mb_1=m(a_1-b_1)\in mZ
\Rightarrow по критерию (mZ,+) подгруппы является подгруппой (Z,+).

[свернуть]

Подкольцо

Рассмотрим кольцо \mathcal{R}=(R,+,\cdot ,0,1). Если множество Q есть подмножество множества R, замкнутое относительно операций сложения и умножения кольца R, содержащее нуль и единицу кольца R, а также вместе с каждым x\in Q содержащее противоположный к нему элемент (-x), то \mathcal{Q}=(Q,+,\cdot ,0,1) также есть кольцо. Его называют подкольцом кольца \mathcal{R}.

Другими словами, \mathcal{Q} называется подкольцом в \mathcal{R}, если оно само является кольцом относительно сужения операций, определенных на R.

Критерий подкольца

Непустое подмножество R_1 кольца R будет его подкольцом \Leftrightarrow

  1. \forall a,b\in R_1 (a+b)\in R_1
  2. \forall a,b\in R_1 ab\in R_1

Подполе

Пусть P-поле. L\subset P, L\neq\varnothing.
L называется подполем P, если L само является полем относительно сужения операций, определённых на P.
При этом P называется расширением L.
Понятие подполя определяется аналогично понятию подкольца.Единственное по сравнению с определением подкольца дополнительное требование состоит в том, что носитель подполя должен вместе с каждым элементом x содержать обратный к нему по умножению поля элемент x^{-1} . Это значит, что мультипликативная группа подполя должна быть подгруппой мультипликативной группы всего поля.

Пример

Спойлер

Если a и b — различные элементы поля F, то мы можем определить новое сложение \oplus и новое умножение \odot в F следующим образом:
x\oplus y=x+y-a, x\odot y=a-(x-a)(y-a)/(b-a).
(В геометрических терминах: мы меняем начало координат и масштаб.) Легко видеть, что элементы множества F образуют также поле и относительно новых операций. Мы обозначаем это новое поле через F'. Ясно, что подмножество поля F, которое является подкольцом поля F', не будет, вообще говоря, подкольцом поля F. Отметим, что a и b будут соответственно нулем и единицей поля F'.

[свернуть]

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *