Решение матричных уравнений

Матричные уравнения бывают трех типов.

1. $A \cdot X=B$

2. $X \cdot A=B$

3. $C \cdot X \cdot A=B$

Пример 1. Чтобы решить уравнение первого типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице $A$ слева.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot X=$ $\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}$, $\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-2$
$A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot 4=4$
$A_{12}=(-1)^{1+2} \cdot 3=-3$
$A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot 2=-2$
$A_{22}=(-1)^{2+2} \cdot 1=1$
$\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{pmatrix}$, полученную матрицу транспонируем и умножим на $\det^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-1/2$. Обратная матрица к $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}$ равна $\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}$.
$X=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix} \cdot$ $\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}$, $X= \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}$. Сделаем проверку $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=$$\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}$. Уравнение решили правильно.
Пример 2. Чтобы решить уравнение второго типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице $A$ справа.
$X \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix}.$ Матрица обратная к $\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}$ равна $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix}.$ $X=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix},$ $X=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}$.
Пример 3. Чтобы решить уравнение третьего типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице $A$ справа и на обратную матрице $C$ слева.
$\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}$. Обратная матрица к $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix}$ равна $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix},$ обратная матрица к $\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}$ равна $\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}$. $X=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix} \cdot$$\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}$.
Проверка $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}$.
Пример 4. Случай когда обратная матрица не существует.
$X \cdot \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 8 \\ \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}$.
Матрицу $X$ запишем как $\begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \\ \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} & 6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} \\ 3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} & 6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4} \\ \end{pmatrix}=$$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}$.

$$\begin{cases} 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\ 6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} = 4\\ 3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9\\ 6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4}=18 \end{cases}$$
Эта система эквивалентна
$$\begin{cases} 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\ 3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9 \end{cases}$$
Решив данную систему получим общей вид решения $X=\begin{pmatrix} x_{1} & (2-3x_{1})/4 \\ x_{3} & (9-4x_{1})/3 \\ \end{pmatrix}$
Литература

1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии

2. Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 211-213.

Сборник задач по линейной алгебре. Проскуряков. И. В. М. 1961 год, стр. 118-119.