Прямое дополнение

Дано пространство $U \subseteq \mathbb{R}^4,$ натянутое на вектора $a_1=(2,1,0,-3),$ $a_2=(2,3,-1,0),$ то есть $U = \langle (2,1,0,-3), (2,3,-1,0)\rangle.$
Найдем какое-либо дополнение $V$ к $U$ в $\mathbb{R}^4$.

Проверим ЛНЗ $a_1$ и $a_2$.
$rank \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & -3 \\ 2 & 3 & -1 & 0\end{pmatrix}=$ $rank \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & 3\end{pmatrix}= 2 \Rightarrow$
$\langle a_1, a_2\rangle$ — базис $U$.
$V$ удовлетворяет условию $V \oplus U= \mathbb{R}^4$.
Из первого критерия прямой суммы получаем, что объединение базисов $V$ и $U$ образуют базис $\mathbb{R}^4$. Так как $\dim \mathbb{R}^4= 4$ и $\dim U= 2 \Rightarrow$ $\dim V= 2$. Найдем какой-либо базис $V$ . Дополним для этого систему из векторов $\langle a_1, a_2\rangle$ до базиса векторами стандартного базиса $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ в $\mathbb{R}^4$.
Зафиксируем в полученной системе вектора $a_1$, $a_2$ и выделим из этой системы ЛНЗ систему, содержащую эти вектора
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & -3 \\ 2 & 3 & -1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 0 & -1 & 0\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -3\\ 0 & 0 & -1 & 0\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \Rightarrow$
$\langle e_1, e_2, a_1, a_2\rangle$ -ЛНЗ,
так как эта система максимальна, она и образует базис $\mathbb{R}^4$.
Отсюда и из рассуждения в начале получаем, что $L \langle e_1, e_2\rangle= V$ одно из прямых дополнений к $U$.